张彧典先生的Z—换色程序和米勒图构形四姐妹的实质

雷明85639720

张彧典先生的Z—换色程序和米勒图构形四姐妹的实质
雷  明
（二○一八年九月十八日）
（图发不上来，请到《中国博士网》中去看。文章同名）

    1、张先生的Z—换色程序
张彧典先生在他的《四色问题探秘》一书中对米勒图（即M—图，如图1，a）进行着色时，用连续的赫渥特颠倒法（即转型交换）无法进行着色，总不可能使图变成K—构形而成为可约构形。而且在颠倒二十次后，图又反回到原来的初始图，出现了循环现象。但他发现了在转型过程中，每一转型后的图中都有一条环形的A—B链（如图中的红色链），把C—D链分隔在A—B环的内外，交换了A—B环外的C—D链（如图中的兰色链。注意，这里不是任意的交换，而是交换环外的C—D链），都可以使图中连通且相交叉的两条链（如图中的黑色链，相交顶点用了加大顶点）分别断开或者不存在，破坏了形成H—构形的必要条件，图也就变成了K—构形而可约。图1中的四个图都可以通过这样的交换办法使图变成K—构形而可约。
根据这一现象，张先生就把M—图转型过程中构形峰点（即构形类型的标志）出现一次循环的四次转型交换作为一个小的循环，得到了图1中的四个图或构形。若对图1，d再进行一次转型交换时，得到的图就又与转型前的图1，a的构形相同了，只是构型峰点没有回到原来图1，a的顶点１的位置。于是张先生就把这一着色方法用他自已的姓氏“张”字的头一个汉语拼音字母“Z”，起名为“Z—换色程序”。
图１中的四个图或构形，均是同一个图的转型交换所得到的图，仍是同一个图，只是构形类型不同罢了。除了交换过程中交换了颜色的顶点颜色有所改变以外，其他顶点的颜色是没有改变的。由于构形的峰点改变了，构形类型改变了，所以每一个图中都有自已的两条连通且相交叉的、构成H—构形的必要条件的链，各不相同。虽然各图中都有环形的A—B链（红色），但其本质是不同的。

图1，a中的A—B（红色）环形链是BAB型的5—轮构形中经过了5—轮1B，2A和3B三个轮沿顶点的A—B环形链；而图1，c中的A—B环形链则是ABA型的5—轮构形中经过了5—轮2A，3B和4A三个轮沿顶点的A—B环形链；图1，b中的A—B环形链是DCD型的5—轮构形中经过了5—轮2A和3B两个轮沿顶点的A—B环形链；而图1，d中的A—B环形链则是CDC型的5—轮构形中经过了5—轮3B和4A两个轮沿顶点的A—B环形链。各个图中的各个连通且相交叉的两条链都是不相同的。
然而张先生所交换的C—D链（兰色），在图1，a中是BAB型的经过了5—轮4D和5C两个轮沿顶点的；而在图1，c中则是ABA型的经过了5—轮5C和1D两个轮沿顶点的；在图1，b中是DCD型的经过了5—轮4D，5C和1D三个轮沿顶点的；而在图1，d中则是CDC型的经过了5—轮5C，1D和2C三个轮沿顶点的。虽说都是交换的C—D链，但都是在不同类型的，且是在5—轮轮沿的不同顶点间进行的。
2、张先生的米勒图四姐妹
把张先生图1中的四个图都统一变成BAB型的5—轮构形时，就是张先生的米勒图四姐妹图（如图2）。这四个图的变化，不是象图1中的那样，只是交换的链中的顶点颜色有所变化，而是所有顶点的颜色都进行了变动，但变动后的图的构形与图1中各对应图的类型却是相同的。

可以看出，这四个图都有两条连通且相交叉的A—C和A—B链，只是相交顶点的个数不同罢了。图2实际上是分为两类，图1，a和图1，c是一类，都有经过5—轮的1B，2A和3B三个轮沿顶点的A—B环形链，交换了经过5—轮的4D和5C两个轮沿顶点的C—D链，就可以使连通且相交叉的A—C和A—D链断开或不存在，使图变成K—构形而可约；图1，b和图1，d是一类，都有经过5—轮的4D和5C两个轮沿顶点的C—D环形链，交换了经过5—轮的1B，2A和3B三个轮沿顶点的A—B链，就可以使连通且相交叉的A—C和A—D链断开或不存在，使图变成K—构形而可约。这分别就是我按构形结构特点所分的H—构形的不同类型中的A类和B类，解决的办法也是完全相同的。
3、图1和图2的相互关系
图1的四个图是同一个构形的四种转型交换的结果，也是四种不同的构形，由于都没有变成标准的BAB型的构形，所以就成了都有环形的A—B链，交换了环形的A—B链外的C—D链，图就都变成了可约的K—构形了。而图2中的四个图，本身就是四个不同的构形，分别属于两个大类。由于其统一了标准，所以各图中的环形链，就成了有的是A—B链，有的是C—D链。当然解决时，所交换的链也就各不相同了。
图1是解决同一个构形（米勒图构形）的不同解决方法；而图2则是解决不同的构形（任意的A类和B类H—构形）时的同一方法。所以，图1只能说交换A—B环“以外”的C—D链（因为图1，a交换了A—B环以内的C—D链，构形是不会变成K—构形的），而不能说交换A—B环内、外的任一条C—D链。但图2，a和图2，c则可以说交换A—B环内、外的任一条C—D链，但至少可以交换经过5—轮的4D和5C两个轮沿顶点的C—D链，可以使图变成K—构形而可约的。因为有些含有经过5—轮的1B，2A和3B三个轮沿顶点的A—B环形链的构形，不交换经过5—轮的4D和5C的C—D链，也是可以使图变成K—构形的。同样的，图2，b和图2，d则也可以说交换C—D环内、外的任一条A—B链，至少也可以交换经过5—轮的1B，2A和3B三个轮沿顶点的A—B链，可以使图变成K—构形而可约的。

雷  明
二○一八年九月十八日于长安

注：此文已于二○一八年九月十八日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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