一个整数 100 次方后被 125 除，余数可能是什么？

luyuanhong

题 一个整数 100 次方后被 125 除，余数可能是什么？

解  如果正整数 a 是 5 的倍数，则 a^100 必定是 5^3=125 的倍数，这时 a^100

被 125 除后，余数必定为 0 。

    如果正整数 a 不是 5 的倍数，则 a 必定与素数 p=5 互质。

    我过去在《数学中国》发表过一篇帖子，证明了下列结论（Fermat 小定理的推广）：

    若素数 p 与正整数 a 互质，则必有 p^k｜a^[(p-1)p^(k-1)]-1 。

    令 p=5 ，k=3 ，则有 p^k=5^3=125 ，a^[(p-1)p^(k-1)]=a^[4×5^(3-1)]=a^100 。

    所以，从 Fermat 小定理的推广可知，若 a 与 5 互质，则 125 能整除 a^100-1 。

    换句话说，就是：如果 a 不是 5 的倍数，则 a^100 被 125 除后，余数必定是 1 。

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