在 ΔABC 中，CD、CE 分别是 AB 边上的高和中线，已知 ∠ACD=∠BCE，求证：∠ACB=90°

ccmmjj

我们知道，三角形ＡＢＣ中，如果∠ACB=90度，那么中线CE和高CD各与一直角边成相同的角，这是显然而毋庸置疑的。现在反过来思考，三角形ＡＢＣ中，如果中线CE和高CD各与一直角边成相同的角，即∠ACD=∠BCE，能得到结论∠ACB=90度吗？

ccmmjj

如果无图，则“三角形ＡＢＣ中，如果中线CE和高CD各与一直角边成相同的角，即∠ACD=∠BCE，能得到结论∠ACB=90度吗？”这句话是不对的。如果以主帖图来说，这个结论是肯定的，只是怎么证明的？

luyuanhong

Ysu2008

ccmmjj

如图；三角形ＡＢＣ中，如果中线CE和高CD各与一直角边成相同的角，即∠ACD=∠BCE，能得到结论∠ACB=90度。

证明：作三角形ABC的外接圆。延长CD交圆于Ｆ，延长CE交圆于Ｇ，
由∠ACD=∠BCE，即∠ACF=∠BCG，连接ＡＦ，ＦＧ，ＧＢ，可得∠BAF=∠ABG，
容易证明，四边形ABGF是一个等腰梯形。即有　FG∥AB,
由已知；CD⊥AB,推知：CD⊥FG，即　∠CFG=90° ，CG是圆直径！
又由已知：CE是中线，即直径CG平分弦AB。
此时情况有两种：
1，若AB是非直径的普通弦，则由垂径定理，CG不仅平分弦还要垂直弦AB，即高CD与中线CE必重合，△ABC是等腰三角形。此与图不合。
2，ＡＢ是圆直径。于是就可知　∠ACB=90°　成立。　证毕。
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小木虫号称是硕博学术论坛，其中有专门的数理专区，那里都没人解决的问题，这里偏文科的网友解决不了，无足多怪。本题链接
http//muchong.com/t-12654044-1)
"三角形ＡＢＣ中，如果中线CE和高CD各与一直角边成相同的角，即∠ACD=∠BCE，能得到结论∠ACB=90度吗？"单从这句话来说，应该是不正确的，所说“当E点与H点重合的时候，也有∠ACD=∠BCE，此时为等腰三角形，不一定是直角三角形。”但就那个图来说，答案应该是肯定的。只是找到证明不容易。
如无图则情况复杂，在钝角三角形有外高线情况，能与文字表达符节。

luyuanhong

楼上 ccmmjj 的解答很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。