关于圆歪掉的对称

ccmmjj

我们知道，圆是具有最佳对称性的东西，这种对称性可经用一条定理“垂径定理”来表述。如下图，对于一个圆来说，对任意一条弦AB，过AB弧的中点C做AB的垂线，必然等分线段AB。这没什么奇怪，只是另一个问题就颇奇怪了。它说：D是C旁边圆上的一点，CE垂直AD于E点，E点竟然也是平分点，当然不是平分AD,而是平分折线ADB！

这就让人费思量了，大家可以讨论一下

ataorj

证明:
如图,CE延长至G,CI至H,GB和AD都至F
∠ECI=∠IAE -> GH=BD ->DH//BG ->∠4=∠1=∠2
∠HGE=90°=∠CEA -> HG//DF ->DFGH是平行四边形
-> ∠4=∠3 -> ∠3=∠2 ->DB=DF
外周角∠2=∠GAD -> ∠3=∠GAD -> GA=GF,GAF为等腰三角形,余略
证毕

ccmmjj

这是在数学中国崩溃期间我放在文科论坛的题目，应该是一个早就有的定理。楼上ataorj的证明很别致，一看水平就不一样。在文科也有几个不同的证明，待我慢慢转来。

ataorj

真不错，你这够简单，我没考虑到角阿尔法,比塔相等。

愚蠢的驴子的证明不知为何消失了。
他是利用角AGC=BGC来证的。

ataorj

被推荐上去了，帖子顺序乱了，不喜欢这样。

ccmmjj

wxhnrtu：这个真的神奇。第一次听说。不过，如果是真的，应该可以证明。
nimitz：原来学几何时可没研究过这个，现在有点晚了，等楼下的证明吧。
cspc：人們可以設定C垂直在AB線上的點為F。無論如何移動D點，AD+BD的距離一樣等於AC+BC的距離。事實上，E點就是隨著D點移動之F點（平分點）。或作參考。
就来看看：都还给数学老师了。
sjzjjxy：
设O为圆心，OC交AD于F，交AB于G。
延长AD，以C为圆心，CA为半径做弧，交延长线于H，则必有：
CA=CH
角ACE=角HCE
AE=EH

【先证明三角形HCD全等于三角形BCD】
已知：
CD=CD
BC=CH
则只需证明角BCD=角HCD即可
（这个不难，略）
两三角形全等，则BD=HD

【最后证明】
由以上得：
EH=ED+DB
已知：
AE=EH
则有：
AE=ED+DB
bainianqiuyiban ：你认为不难的，越需要证明啊。就是角BCD=角HCD
sjzjjxy：
因角BCD与角BAD都对应于弧BD，得：
角BCD=角BAD

又，三角形CFE相似于三角形AFG，得：
角FCE=角FAG

故得：
角BCD=角FCE

据图，有：
角HCD=角HCE–角DCE
因角DCE=角GCB
得：
角HCD=角HCE–角GCB
因角HCE=角ACE
得：
角HCD=角ACE–角GCB
因角GCB=角ACG
得：
角HCD=角ACE–角ACG=角FCE=角BCD
证毕
shian3000：有趣的证明，看不懂，都还给数学老师了。
typjkl：

ccmmjj

最后，当然少不了我的答案：

证明：将CB弧旋转到AC，使Ｄ点落在F位置上。则有AF弧＝CD弧，FC弧＝DB弧。得FC＝DB。由弓形AD的对称性（垂径定理），FC平行于AD。于是有DE＝（AD-DB）/2,
可得AE＝AD-DE＝（AD+DB）/2.

ataorj

你这个也很不错，我算学了一种思路。

denglongshan

哪个文科论坛还讨论理科问题？能否请发一下链接？楼主证明奇妙。

luyuanhong

楼上 ccmmjj 的帖子和各位的解答都很好！

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。