有四种饮料，现在要买 20 罐，每种饮料至少买一罐，至多买六罐，共有几种不同的买法？

luyuanhong

这是台湾网友 winnie 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

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题  有四种饮料，现在要买 20 罐，每种饮料至少买一罐，至多买六罐，共有几种不同的买法？

解  先把四种饮料分为两类：第一、第二种饮料为甲类，第三、第四种饮料为乙类。

    显然每一类至少买 2 罐，至多买 12 罐，而且两类加起来的总数必须是 20 罐，符合要求的

甲乙两类的罐数，只可能有下列五种：

   （8，12），（9，11），（10，10），（11，9），（12，8）。

    在每一类内部，有两种饮料，每一种至少买一罐，至多买六罐。

    当这一类的总数为 8 时，两种饮料的罐数可以是 2+6，3+5，4+4，5+3，6+2 ，共 5 种买法。

    当这一类的总数为 9 时，两种饮料的罐数可以是 3+6，4+5，5+4，6+3 ，共 4 种买法。

    当这一类的总数为 10 时，两种饮料的罐数可以是 4+6，5+5，6+4 ，共 3 种买法。

    当这一类的总数为 11 时，两种饮料的罐数可以是 5+6，6+5 ，共 2 种买法。

    当这一类的总数为 12 时，两种饮料的罐数可以是 6+6 ，共 1 种买法。

    综合以上分析，可知不同的买法总数为

    5×1+4×2+3×3+2×4+1×5 = 5+8+9+8+5 = 35 。