（新解法）已知一条直线l和已知解释式圆锥曲线交与A.B,且M是AB中点（已知），求l

Mr练

已知双曲线（椭圆）解析式：Ax²+By²=1，直线l交曲线于点p,q。AB中点已知为M（a,b）求l 的方程
（除了普通的解法，和点差法外，我自己做作业的时候想到了一种方法，然后自己推广到一般觉得也可以，问老师，老师说要想想从理论上看看可不可以证明。结果老师想了一会儿说也是可以的，不过他没见过这样的解法，叫我考试尽量不要用，我不知道这种方法之前有没有人已经提了出来只是老师不知道，现在想问一下大家，大家给下意见，这种方法从理论上证明要考虑些什么，考试可不可以这样写，这样写要不要注意什么。先谢谢了PS：我高二）
解：设p(X';,Y';)  因为M为p，q中点  
     所以q(2a-X';,2b-Y';)
   又因为 q在曲线上
     所以A(2a-X';)²+B（2b-Y';）²=1
   化简得4A(a²-aX';)+4B(b²-bY';)+(Ax';+BY²)=1
   又因为 Ax';+BY²=1
   所以有 A(a²-aX';)+B(b²-bY';)=0
   又因为 将M（a,b）带入符合上式
   所以A(a²-aX';)+B(b²-bY';)=0 即为所求
不知道哪里有什么不对的，请大家告诉我。先谢谢大家了
Ps:允许引入一些超过高二的知识，不过不要太难，要不我不懂

luyuanhong

你这种做法，虽然不太符合正规，有些另类，但是得到的结果是完全正确的，推导过程也没有什么错。
（上面帖子中，你把“Ax²+By²=1”不小心写成了“Ax';+BY²=1”，只能算是偶然的笔误。）
如果我是老师，批改考卷时看到这样的答案，我会认为是对的，是不会扣分数的（其他老师会怎样做，我就不知道了）。
而且，我觉得，像你这种另类的思考，其实还是很值得鼓励的。

Mr练

呵呵
昨晚我一个朋友也用这种方法推广到用离心率表示的圆锥曲线的方程
明天我就叫他打下来看看
其实我还是有个问题
4A(a²-aX';)+4B(b²-bY';)+(Ax';+BY²)=1
的图像是代表什么？ 是不是直线4A(a²-aX';)+4B(b²-bY';）=0和圆锥曲线(Ax';+BY²)=1
的图像的集合？？？
谁会的就告诉我一下吧

Mr练

离心率表示圆锥曲线
设直线与圆锥曲线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），弦的中点为（m，n）
已知圆锥曲线的统一方程为(1-e²)x²+y²--2pe²x-p²e²=0
其中p为焦准距，e为离心率
可将其变成(1-e²)x²+y²-p²e²=2pe²x
因为中点坐标为(m,n)所以x1+x2=2m    y1+y2=2n
即x2=2m-x1   y2=2n-y1    所以B点可表示为(2m-x1,2n-y1)
把B点代入统一方程
(1-e²)(2m-x1)²+(2n-y1)²-2pe²(2m-x1)-p²e²=0
以同上的方法化简
可得到直线方程(1-e²)mx1+ny1-(1-e²)m+pme²-n²=0
此直线为弦的方程
其实解法同上面的是一样的，只不过用的圆锥曲线的统一方程进行推导，所以化简出公式适用范围是所有圆锥曲线[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 Mr练 在 时添加 -=-=-=-=-
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 Mr练 在 时添加 -=-=-=-=-
直线方程应该是(1-e²)x1-pe²x1+ny1-(1-e²)m+mpe²=0