单位正方形内随机三角形平均面积问题，陆老师的解答很漂亮

musicbug88

[这个贴子最后由musicbug88在 2009/12/26 07:58pm 第 3 次编辑]

luyuanhong老师，我遇到一个比较棘手的概率问题，请教您。
单位正方形内有三个随机点均匀独立分布，求这三点构成的三角形的平均面积。
实际上就是求下面的六重积分

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/07/17 04:24pm 第 2 次编辑]

此题解答如下：

musicbug88

[这个贴子最后由musicbug88在 2009/12/25 07:32pm 第 1 次编辑]

好像不对，我用随机数模拟了一下 求的的结果是0.0767
python 程序如下
import math
import random
s=0.0
for i in range(10000):
    x1,y1,x2,y2,x3,y3 =(random.random(),random.random(),random.random(),random.random(),random.random(),random.random())
    s+=math.fabs(x1*y2+x2*y3+x3*y1-y1*x2-y2*x3-y3*x1)
s/=10000.0*2.0

drc2000

下面引用由musicbug88在 2009/12/25 11:00am 发表的内容：
...
s+=math.fabs(x1*y2+x2*y3+x3*y1-y1*x2-y2*x3-y3*x1)
...

你的面积公式少了 分母2 ?

musicbug88

最后s/=10000.0*2.0，里有2，在循环语句里每次都除效率不高

luyuanhong

楼主说得不错，我原来在第 2 楼中的推导，没有考虑到三角形还可能有另外一种类型，所以，推导的结果与模拟试验的结果不符合。
现在，我已经在第二楼中做了修改，把另一种类型考虑了进去，最后得到三角形面积的平均值为 11/144=0.076388888… ，
这样，与模拟试验的结果就完全一致了。
楼主可以到第2楼中去看一看。

musicbug88

嗯，陆老师解答很简洁漂亮。我好好研究研究。此题我提出以后就被复杂的积分难住了，后来我找到了答案，确实是11/144。但较繁琐。我查阅了一些资料，这是个有些历史背景的题目。
链接在
http://mathworld.wolfram.com/SquareTrianglePicking.html
里面提到 Cylindrical Algebraic Decomposition 值得好好研究研究