证明：满足 AB/AC=k 为定值的 Apollonius（阿波罗尼斯）圆与 ΔABC 的外接圆正交

ataorj

我第一次作图比较麻烦，获得等比线段很简单，做BC平行线EF，交AB于E，AC于F，B圆心，BE为半径的圆和以C为圆心，CF为半径的圆的交点K和K'一下就得到了

Ysu2008

ataorj 发表于 2018-12-1 17:08
我第一次作图比较麻烦，获得等比线段很简单，做BC平行线EF，交AB于E，AC于F，B圆心，BE为半径的圆和以C为圆 ...

阿氏圆几何性质：以线段内、外定比分点的连线段为直径。
——可利用该性质作阿氏圆。

Ysu2008

线段AB的阿氏圆系

ataorj

Ysu2008 发表于 2018-12-2 09:36
阿氏圆几何性质：以线段内、外定比分点的连线段为直径。
——可利用该性质作阿氏圆。

不熟悉这些，感觉阿氏圆内容较多。

ccmmjj

推论：三角形的外接圆与其两边为比，第三边为轴的阿波罗尼圆正交。

证明：延长ＣＢ，并在此找到阿波罗尼圆上直径两端点Ｄ、Ｅ。连接ＡＥ并延长交外接圆于Ｆ。
由阿波罗尼圆性质，知BE/EC=AB/AC,即AE是角Ａ之平分线，于是Ｆ为BC弧之中点。
根据两圆正交的条件帖子结论，此两圆正交。

luyuanhong

楼上 ccmmjj 的证明很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

Ysu2008

另一个几何证明，该证明是用《几何专家》自动推理得到。几何专家中间步骤描述有误，略作了修改。

ataorj

P为圆心且PBC共线，如何证？

Ysu2008

ataorj 发表于 2018-12-5 02:20
P为圆心且PBC共线，如何证？

参见阿氏圆性质。