两圆正交的条件

ccmmjj

如图，圆Ｏ1与圆Ｏ2相交，Ｅ是一交点。圆Ｏ1的直径ＡＢ所在直线交圆Ｏ2于Ｃ、Ｄ两点。直线ＥＢ交圆Ｏ2于Ｆ点。
那么，圆Ｏ1与圆Ｏ2正交等价于Ｆ是ＣＤ弧的中点。

这个证明后阿波罗尼圆与外接圆正交那个帖子就只是推论而已。

ataorj

我先证明一下,正交后的这个性质供参考:
CD⊥O2F
证明:
正交是说O1E⊥O2E
->∠3+∠4=90°
而∠1=∠2=∠3,∠4=∠5
->∠1+∠5=90°

ataorj

在论坛上获得这些知识太零碎，学习和研究的效率也低下，因为不系统。只能做为调剂看待。
前人做过的，我估计研究生以上的教材有更深入系统的介绍。
教材不提供 非扫描的电子版是个遗憾。
有无超越一般教材，较为全面详细系统介绍数学成果的书籍？

ccmmjj

我的证明如下：
连接Ｏ1Ｅ，Ｏ2Ｅ，ＡＥ并延长交⊙Ｏ2于Ｇ，连接ＧＦ。由ＡＢ是直径得∠AEB=90°=∠GEF,即ＧＦ是⊙Ｏ2的直径。
① O1E⊥O2E　→　Ｆ平分ＣＤ弧
∵　O1A=O1E,O2E=O2G
∴ ∠A=∠AEO1,∠G=∠GEO2
∵O1E⊥O2E即∠O1EO2=90°
∴∠AEO1+∠GEO2=180°-∠O1EO2=90°
∴∠A+∠G=90°
∴GF⊥AD,由垂径定理，即有：Ｆ平分ＣＤ弧。
②Ｆ平分ＣＤ弧　→　O1E⊥O2E
若Ｆ平分ＣＤ弧，则由垂径定理之逆，知GF⊥AD.
则有∠A+∠G=90°，
又由∠A=∠AEO1,∠G=∠GEO2
得　∠AEO1+∠GEO2=90°
于是∠O1EO2=180°-(∠AEO1+∠GEO2)=180°-90°=90°
也就是　O1E⊥O2E　。证毕

ccmmjj

推论：三角形的外接圆与其两边为比，第三边为轴的阿波罗尼圆正交。

证明：延长ＣＢ，并在此找到阿波罗尼圆上直径两端点Ｄ、Ｅ。连接ＡＥ并延长交外接圆于Ｆ。
由阿波罗尼圆性质，知BE/EC=AB/AC,即AE是角Ａ之平分线，于是Ｆ为BC弧之中点。
根据主贴结论，此两圆正交。

ataorj

我的证明做逆证也是很明显的，从一个90度可得到另一个90度。