什么样的构形才算是H—构形

雷明85639720

什么样的构形才算是H—构形
雷  明
（二○一八年十二月十七日）

要对一个围栏顶点已点用完了四种颜色的BAB型的5—轮构形的待着色顶点进行着色，就是要把围栏顶点已点用的四种颜色减少一种而成为三种，把减下来的一种颜色给待着色顶点着上。并且首先想到的是最好把围栏顶点中只用了一次的A，C，D三种颜色之一减下来最好。
按照坎泊的颜色交换技术，只要5—轮的对角顶点的颜色构成的对角链是不连通的，从该对角顶点的任一个对角顶点交换这种对角链，就可以把开始交换的那个顶点的颜色减下来，给待着色顶点着上。这时，自然就会想到看一看A—C链和A—D链是否有不连通的，只要有一条不连通，问题就可以得到解决。否则，就只好考虑着了两次的B色是否可以减下来了。这一点，能否空出A，C，D三色之一，只与A—C链和A—D链是否同时连通有关，而与该两链是否在中途又相交叉是无关的。
显然有了A—C链和A—D链的连通性，当然B—D链和B—C链就不会再各自连通了。因为A—C链和B—D链，A—D链和B—D链是两对相反的色链。而相反色链是不会相互穿过的，所以B—D和B—C链就不会再各自连通了。所以从围栏顶点中的任一个B色顶点开始交换其对角链，这个B色顶点的B色一定可以空出来。但这一交换后，如果从围栏顶点中的另一个B色顶点到其对角顶点的对角链仍不连通，则再从该B色顶点交换其对角链时，就可以再空出第二个B色顶点来，问题也就得到解决。否则，在第一次交换关于B的色链后，造成了从另一个B色顶点到其对角顶点的对角链，由原来的不连通而变成了连通，则是不能把两个同色B都减下来的。当对两个B分别都进行了对角链的交换后，都形成了另一个B到其对角顶点的连通对角链时，该构形就属于不能把两个B都减下来的构形；只要有一种情况形不能形成从另一个B到其对角顶点的连通对角链时，这个构形就是可以把两个B都减下来的构形。
这种不能把两个B都减下来的构形，就是赫渥特指出的坎泊证明中所遗漏了的那一种构形。也就是题目中所说的H—构形。不过，赫渥特图只是H—构形中的一种，而不是全部。H—构形有三种类型，一是图中有一条经过了5—轮围栏三个顶点的环形的A—B链，二是图中有一条经过了5—轮围栏另外两个顶点的环形的C—D链，三是上述两条环形链一条也没有的构形。相应的，把坎泊所证明过是的且可约的构形都叫作K—构形。
这里要注意：能不能把两个同色B色减下来，虽与A—C链和A—D链在中途相交叉有关（换句话说就是，如果A—C链和A—D链在中途不相交叉时，一定是可以把两个同色B减下来的），但并不是所有的A—C链和A—D链在中途都相交叉的构形，都不能把两个同色B减下来。如张彧典先生的第一构形,第三构形等就是这样的构形,图中虽有两条相交叉的A—C链和A—D链，但其却是可以把两个B色减下来的。
因此可以说，有两条连通且交叉的A—C链和A—D链是构成H—构形的必要条件，但不是充分条件。充分的条件则是：不能通过对角链的交换空出任何颜色给待着色顶点的构形。
解决H—构形的方法是：有经过5—轮三个围栏顶点的A—B环形链者，可以交换经过5—轮另两个围栏顶点的C—D链，使图变成K—构形而可约；有经过5—轮两个围栏顶点的C—D环形链者，可以交换经过5—轮另三个围栏顶点的A—B链，使图变成K—构形而可约；没有任何环形链的构形，可以经过交换B—C链或B—D链，使图直接变成可以把两个同色（新形成的两个同色D或C，而非原来的两个同色B）减下来的K—构形而可约，或者先变成上述有经过5—轮两个围栏顶点的环形链（是新形成的A—B环形链而非上述的C—D环形链）的构形而可约。四色猜测得到证明是正确的。

雷  明
二○一八年十二月十七日于长安

注：此文已于二○一八年十二月十七日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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