将四颗不同颜色的球，丢入三个不同的箱子，恰有一个箱子没有球，共有几种不同的情形？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

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题  将四颗不同颜色的球，丢入三个不同的箱子，恰有一个箱子没有球，共有几种不同的情形？

解  一般来说，要将 m 颗不同的球，丢入 n 个不同的箱子，因为每一颗球都可以有 n 种不同

的选择，所以，m 颗球共有 n^m 种不同的情形。

    设三个箱子编号为 1、2、3 。下面考虑恰好只有 1 号箱子没有球时，有几种不同的情形：

    1 号箱子没有球，相当于将 m=4 颗不同的球，丢入 n=2 个不同的箱子，有 2^4 种情形。

但是，还要扣除 1 号、2 号箱子都没有球，以及 1 号、3 号箱子都没有球这 2 种情形。所以，

当恰好只有 1 号箱子没有球时，有 2^4-2 种不同情形。

    同理，恰好只有 2 号箱子没有球时，恰好只有 3 号箱子没有球时，也都可以这样计算。

    所以，在恰有一个箱子没有球的情况下，共有 3×(2^4-2) = 3×14 = 42 种不同情形。


注  另一种解法，是这样考虑的：

    恰好只有 1 号箱没有球时，设想先从 4 个球中选取 k（k=3,2,1）个球丢入 2 号箱，

再将其余 4-k 个球丢入 3 号箱，有 C(4,3)C(1,1)+C(4,2)C(2,2)+C(4,1)C(3,3) 种情形。

    同理，恰好只有 2 号箱子没有球时，恰好只有 3 号箱子没有球时，也都可以这样计算。

    所以，答案为 3×[C(4,3)C(1,1)+C(4,2)C(2,2)+C(4,1)C(3,3)] = 3×(4+6+4) = 42 。

    这个答案，与上面一种解法的答案一样，也是对的，但是计算相对比较繁了一点。


    其他的解答，如：

       3^4-3C(4,1)C(3,1)C(2,1)-3 = 81-72-3 = 6 。

       C(4,3)C(1,1)3!+C(4,2)C(2,2)/2 = 24+3 = 27 。

    显然都是错误的。