为什么不能把可以连续的移去两个同色的图归为H—构形

雷明85639720

为什么不能把可以连续的移去两个同色的图归为H—构形
雷  明
（二○一八年十二月三十一日）

坎泊在证明四色猜测时，只证明了在BAB型的H—构形中，连通的A—C链和连通的A—D链只有共同的起始顶点的情况，而没有证明该两链在中途还相交叉的情况。赫渥特构造的用以指出坎泊的证明有漏洞的图，正好是A—C链和A—D链两链在中途还相交叉的构形。后人在分折赫渥特图时，都指出了：从顶点1交换了B—D链后，尽管移去了顶点1的一个B，但同时又生成了从顶点3到顶点5的连通的B—C链，使得不可能再从顶点3交换B—C链，从而也就不可能移去顶点3的第二个B。反之，若先从顶点3交换了B—C链后，虽然也移去了顶点3的一个B，却也生成了从顶点1到顶点5的连通的B—D链，也使得不可能再从顶点1交换B—D链，从而也就不可能移去顶点1的第二个B。这的确是事实。
可以连续的移去两个同色的图，有两种情况。一是无论先从那一个着B色的顶点交换，都能连续的移去两个同色B；二是先行交换的着B色的顶点是要有选择的，选择得正确，就可连续的移去两个同色B，否则，同样是不可能移去两个同色B的，而只能移去一个B。可以连续的移去两个同色B的图，是K—构形；而不可连续的移去两个同色B的图，才是H—构形。在四个“九点形”图中，只有一个含有C—D环形链的“九点形”图是H—构形，一个含有A—B环形链的“九点形”图是任意先从那个着B色的顶点交换，都能连续的移去两个同色B的K—构形，另外的两个不含任何环形链的“九点形”图，则是有选择性的先从某一个着B色的顶点交换，才能连续的移去两个同色B的K—构形。
在可以连续的移去两个同色B的四个“九点形”图中，尽管都有连通且相交叉的两条链A—C和A—D，但却只有一个是属于H—构形，三个是K—构形。所以说有连通且相交叉的A—C链和A—D链只是构成H—构形的必要条件，而不是充分的条件。而只有“不能通过对对角链的交换而空出任何颜色”的图才是构成H—构形的充分条件。可以这么说，不能通过对对角链的交换而空出任何颜色的构形是H—构形；反过来，H—构形也是不能通过对对角链的交换而空出任何颜色的。
据此，可以把大于“九点形”图的任何构形，按图中有没有环形的A—B链和环形的C—D链，分成三个类别：一是有经过三个围栏顶点的环形的A—B链的构形，二是有经过两个围栏顶点的环形的C—D链的构形，三是没有任何环形链的构形。这三类构形都已经证明是可约的，那么任何H—构形也就是可约的了。四色猜测也就被证明是正确的了。

雷  明
二○一八年十二月三十一日于长安

注：此文已于二○一八年十二月三十一日在《中国博士网》上发表过，网址是：