有界函数和有限函数之间的关系是怎样的？

fm1134

         程其襄的《实变函数与泛函分析基础》（第二版）第四章“可测函数”中（第77页）有这样一段话很让人费解：
        “今后提到的函数都是指定义在Rn（n维欧氏空间）中的某个点集上的实函数，并且允许它以＋∞或－∞为函数值。±∞也称为非真正的实数，通常的实数则称为有限实数。函数值都是有限实数的函数称为有限函数。有界函数仍在通常意义下来理解。因此有界函数必是有限函数。但反之不真。”
        为什么说“有界函数必是有限函数。但反之不真”呢？
        按照直观理解，有界函数一定是有限函数，有限函数也一定是有界函数。难道还有反例吗？

luyuanhong

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谢谢陆老师的解答！