一评华罗庚的《从祖冲之的圆周率谈起》 ——挂羊头卖狗肉 倪则均，2015年4月27日。

n123zj3

1，中国数学的悲哀。
华罗庚的《从祖冲之的圆周率谈起》，其第一节的标题是“祖冲之的约率22/7和密率355/113”。华罗庚从一开始就开门见山的说：“祖冲之是我国古代的伟大数学家。他生于公元429年，卒于公元500年。他的儿子祖暅和孙子祖皓，也都是数学家，善算历。”其实，根据《南齐书》的“祖冲之传”记载：“祖冲之字文远，是范陽蓟县人。祖父祖昌，在宋朝做过大匠卿。其父祖朔之，官奉朝请。”由此可见，华罗庚介绍的是祖冲之的枝叶，《南齐书》介绍的是祖冲之的根本。华罗庚接着立即就亮出了这本小册子的主题内容：
“关于圆周率π，祖冲之的贡献有二：
（ⅰ）3.1415926＜π＜3.1415927；
（ⅱ）他用22/7作为约率，355/113作为约率。
这些结果是刘徽割圆术之后的重要发展。刘徽从圆内接正六边形起算，令边数一倍一倍地增加，即12、24、48、96、……，1536，……，因而逐个算出六边形、十二边形、二十四边形……的面积，这些数值逐步地逼近圆周率。刘徽方法的特点，是得出一批一个大于一个的数值，这样来一步一步地逼近圆周率。这方法是可以无限精密地逼近圆周率的，但每一次都比圆周率小。祖冲之的结果（ⅰ）从上下两个方面指出了圆周率的误差范围。这是大家都容易看到的事实，因此在这本小书中不预备多讲。我只准备着重地谈一谈结果（ⅱ）。”
上面华罗庚所说的，祖冲之对于圆周率的二个贡献，显然是从《隋书》上抄录下来的：“宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。又设开差冪，开差立，兼以正圆参之。指要精密，算氏之最者也。所著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理。”
上述祖冲之对于圆周率的二个贡献，可谓是铸就了中国数学的千年辉煌，因为西方数学直到1573年，才得到这样的结果。《隋书》是唐代官修正史的代表作，弘扬秉笔直书的优良史学传统，品评人物较少阿附隐讳，保存了大量政治、经济以及科技文化资料。但是《隋书》却没有再进一步介绍，祖冲之的这二个贡献，到底是如何取得的？不知在他的《缀术》里，是否会有比较详细的记载？然而，《缀术》早已失传，让人无从查考。
其实，在祖冲之对于圆周率的二个贡献之中，结果（ⅰ）是根本性的，因为只要有了结果（ⅰ），即可设法得到结果（ⅱ）。然而，华罗庚却认为结果（ⅰ）是不难得到的，他异想天开的认为，只要按照刘徽的割圆术，一步一步地分割下去，即可得到结果（ⅰ）。由此可见，华罗庚在写这本小册子之前，似乎根本就没有看过刘徽的“割圆术”，事实上，刘徽只计算到192边形，就已经得到了3.1416的结果，由于计算工具的限制，使他无法再计算下去了。祖冲之的计算工具也是算筹，他能计算到1536边形以上吗？当然也是不可能的。华罗庚对于祖率的胡说八道实在让人吃惊，这应该就是中国数学的悲哀之所在吧！
2，未能触及到的关键的问题。
华罗庚的《从祖冲之的圆周率谈起》共分十六个章节，另加一个附录“祖冲之简介”。简介上的关键内容，却与《南齐书》上“祖冲之传”的记载有所出入，让人无所适从。华罗庚在第十六节“结束语”中说：“特别是吴方同志对第十二到十五节作了重大修改”，显然这四节的论述方式，与其它各节有着明显的不同，显然此四节的论述显得格外的抽象。华罗庚似乎已经忘记了，他的《从祖冲之的圆周率谈起》是写给中学生看的，能搞得如此的抽象吗？其实，刘徽的逐步割圆就是一种“逼近”，祖冲之的跳跃割圆就是“最佳逼近”。
华罗庚的《从祖冲之的圆周率谈起》，从第二节开始到第十一节为此，足足花了十个章节，专门介绍有关天文历法方面的知识，因此这本数学小册子，还不如称之为天文小册子更为贴切。《周髀算经》应该成书于西周，完善于西汉，这是一部将天文历法，与数学几何混杂在一起的科学著作，此后在我国就再也没有出现过此类情况，不料华罗庚的《从祖冲之的圆周率谈起》，会再次套用这种最为陈旧的表达形式。
对于周而复始的自然现象，对于互含互转的自然法则，对于生生灭灭的自然规律，老子在他的《道德经》里，则将其概括为：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”，此十三个字的宇宙生成观，高度反映了我国古代的哲学家们，对于整个客观世界的认识。华罗庚在他的《从祖冲之的圆周率谈起》里，只是罗列了一些天文现象，既没有从哲学的高度去认识这些问题，更没有真正深入地去探究其中的数学实质。
三角函数是一种与天文观测密切相关的数学，由于航海通商的需要，古埃及人和古希腊人，已经知道了一点三角学方面的知识，然而，直到十九世纪，经过了四千多年的探索，才是将其发展成为我们今天的三角函数。其实，三角函数的周期变化规律，只能在“欧几里得几何”完全适用的情况下才能成立。由于我们今天的高深数学，都是在三角函数的基础上建立起来的，因此，我们今天的西方数学，实际上已经陷入了第四次危机之中。
我的“连续统里的迭代算法”，也是一套研究周期变化规律的数学，这是我们认识无理数的重要工具。我一直觉得“连续统里的迭代算法”，就是我们认识无限宇宙时空的数学模型，它不仅让我终于发现了三角函数的局限性，而且其中似乎也反映出了宇宙大爆炸的壮丽奇观。原本都是连续的倍增周期曲线，经过λ=2+3^2时，立即就后发生大爆炸，产生出数量无限之多的离散的自然周期点组。
至于老子的“道生一，一生二，二生三，三生万物。”，我思索了几十年，最近终于领悟了其中的数学含义。道就是无，0是整个自然数里的唯一的一个无量数。1是整个自然数里的最小的一个有量数，从无到有，当然由0生成。在“连续统里的迭代算法”里，可以非常直观的看到，它的20=1周期点曲线，就是由一条0周期点曲线所生成。一生二，二生三，是指唯一的一个偶素数2，只能通过两个加法单位元1的相加得到，而数量无限之多（三为众多之意）的奇素数，又只能通过这一个唯一的偶素数2得到。三生万物当然是指所有的自然数，都是由素数所生成。
3，中国数学的第二个巅峰时期。
从刘徽到祖冲之的二百多年的时间，是中国数学的第二个巅峰时期，然而，华罗庚对此却是只字未提。我国古代的“算经十书”之中，有六部都是在这个时期成书面世的，第一部是刘徽的《海岛算经》。《海岛算经》原是刘徽《九章算术注》的第十章“重差”，唐初的李淳风按照唐高宗李世民的诏令，对我国古代的算经全部重作注释，使之成为国家最高学府——国子监明算科的标准教课书。显然，李淳风认为将《九章算术》由九章变成了十章是不对的，于是断然将“重差”从《九章算术》分离出去，命名为《海岛算经》。
第二部《张邱建算经》，论述了最大公约数，最小公倍数，等差数列，不定方程等方面的问题。第三部《张邱建算经》，原著失传，现在只知道原书的内容为，概括地叙述了筹算的乘除法则，解释了“法除”、“步除”、“约除”、“开平方除”、“开立方除”等五个名词的意义。第四部甄鸾的《五曹算经》，这是一部数学实用手册。第五部甄鸾的《五经算术》，对《周易》、《诗经》、《书》、《周礼》、《仪礼》、《礼记》、《论语》、《左传》等经典里的数学内容，作了解读。
第六部就是祖冲之父子的《缀术》。一般都认为《缀术》是祖冲之父子研究《九章算术》原著，以及刘徽的《九章算术注》的心得，如果真是这样，就应该让人不难理解，《缀术》也就不会失传了。然而，《隋书》上却说：“指要精密，算氏之最者也。所著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理。”由此可见，在祖冲之父子的《缀术》里，一定还隐藏着许多十分晦朔难懂，极其繁琐复杂的的数学和历法的内容，其中甚至还夹杂着一些完全荒谬的东西。
有人说由于《缀术》的失传，就用徐岳的《数术记遗》予以替代。也有人说《数术记遗》是假托徐岳的伪作之作，这是一个争论不休的历史悬案。然而，赵爽对于《周髀算经》的注，对于勾股定理的证明，总应该是毋庸置疑了吧。由于徐岳，赵爽和祖冲之都是出身于江南，因此可以说自从孙武由齐奔吴之后，我国数学的中心一直在逐渐的南移。从刘徽到祖冲之的二百多年的时间，是一个战乱不断的时期，那么在这样战乱不断的年代，又是怎么会造就了中国数学的第二个巅峰时期。
其实，那时的战乱仅仅只是顶层军阀之间的纷争，丝毫没有打破整个社会的平静。那时的中国社会盛行士族制度，士族是以家族为基础，以门第为标准，在社会上形成的地主阶级中的特权阶层，享有很高的政治、经济特权的豪门大族。那时流行的是玄学，这是以老庄思想为骨架，糅合儒家经义以代替繁琐的两汉经学的一种哲学思潮。其讨论的中心问题是本末有无，即宇宙最终存在的根据问题，亦即本体论的问题。那时的士人们常常喜欢聚集在一起“谈空论玄”，称之为清谈。
东汉的蔡伦改进了造纸技术，纸价当然也会为之下跌，然而想要刻板出书，一般的民众是肯定承受不起的。因此这些算经的作者，如果不是当官的，就必定会是那些庄园主，只有他们才能具有这种经济实力。

zhangjiali

一个简简单单的方法，被专家们整的神神秘秘，那不是研究数学，而是编故事。
π＝   2＾n√（2-√（2+…√2）…）从正方形开始割
π＝3×2＾n√（2-√（2+…√3）…） 从再六边形开始割   
一个小公式就能完美描述割圆术了，