a^2=b^5，求通解。

风花飘飘

a^2=b^5

提示：【(176+80*5^(1/2))】^2=【(6+2*5^(1/2))】^5

风花飘飘

x^5-1=0

讨论它的其中两种分解法如下：

表达式 一：
(x^2-((5^(1/2)-1))/2*x+1)*(x^3+((5^(1/2)-1)/2)*x^2+((5^(1/2)-3)/(5^(1/2)-1))*x-1) = x^5-1

所以下面两个多项式的解都是方程x^5-1=0的根。
一、(x^2-((5^(1/2)-1))/2*x+1)=0
二、(x^3+((5^(1/2)-1)/2)*x^2+((5^(1/2)-3)/(5^(1/2)-1))*x-1)=0


表达式 二：
(x^2+((5^(1/2)+1))/2*x+1)*(x^3+((-5^(1/2)-1)/2)*x^2+((5^(1/2)+3)/(5^(1/2)+1))*x-1) = x^5-1

所以下面两个多项式的解都是方程x^5-1=0的根。
三、(x^2+((5^(1/2)+1))/2*x+1)=0
四、(x^3+((-5^(1/2)-1)/2)*x^2+((5^(1/2)+3)/(5^(1/2)+1))*x-1)=0


下面讨论它的根的情况：（根式解暂不去管它，仅看数值解的情况）：

解一   (x^2-((5^(1/2)-1))/2*x+1)=0得：
x 1= -2.68900017628891e-12*(353684066175*%i-114918919344)
x2 = 2.68900017628891e-12*(353684066175*%i+114918919344)

解二  (x^3+((5^(1/2)-1)/2)*x^2+((5^(1/2)-3)/(5^(1/2)-1))*x-1)=0得：
x3 = -5.334338751777253e-12*(110188962427*%i+151662095720)
x4 = 5.334338751777253e-12*(110188962427*%i-151662095720)
x5=1

解三  (x^2+((5^(1/2)+1))/2*x+1)=0得：
x6 = -3.009149848376262e-12*(195332662682*%i+268852345393)
x7= 3.009149848376262e-12*(195332662682*%i-268852345393)

解四  (x^3+((-5^(1/2)-1)/2)*x^2+((5^(1/2)+3)/(5^(1/2)+1))*x-1)=0得：
x8 = -1.161596554373202e-11*(81874942958*%i-26602781595)
x9= 1.161596554373202e-11*(81874942958*%i+26602781595)
x10=1

这才是x^5-1=0的真正的解法，起码这10个根都是x^5-1=0的根，这有什么问题？
从数值解来看，我说我推翻了”高斯基本定理“有何不妥？呵呵～～～～

——————以上是蝶恋花献给2015年”五一劳动节“的礼物20150501北京

风花飘飘

x^5-1=0

讨论它的其中两种分解法如下：

表达式 一：
(x^2-((5^(1/2)-1))/2*x+1)*(x^3+((5^(1/2)-1)/2)*x^2+((5^(1/2)-3)/(5^(1/2)-1))*x-1) = x^5-1

所以下面两个多项式的解都是方程x^5-1=0的根。
一、(x^2-((5^(1/2)-1))/2*x+1)=0
二、(x^3+((5^(1/2)-1)/2)*x^2+((5^(1/2)-3)/(5^(1/2)-1))*x-1)=0


表达式 二：
(x^2+((5^(1/2)+1))/2*x+1)*(x^3+((-5^(1/2)-1)/2)*x^2+((5^(1/2)+3)/(5^(1/2)+1))*x-1) = x^5-1

所以下面两个多项式的解都是方程x^5-1=0的根。
三、(x^2+((5^(1/2)+1))/2*x+1)=0
四、(x^3+((-5^(1/2)-1)/2)*x^2+((5^(1/2)+3)/(5^(1/2)+1))*x-1)=0


下面讨论它的根的情况：（根式解暂不去管它，仅看数值解的情况）：

解一   (x^2-((5^(1/2)-1))/2*x+1)=0得：
x 1= -2.68900017628891e-12*(353684066175*%i-114918919344)
x2 = 2.68900017628891e-12*(353684066175*%i+114918919344)

解二  (x^3+((5^(1/2)-1)/2)*x^2+((5^(1/2)-3)/(5^(1/2)-1))*x-1)=0得：
x3 = -5.334338751777253e-12*(110188962427*%i+151662095720)
x4 = 5.334338751777253e-12*(110188962427*%i-151662095720)
x5=1

解三  (x^2+((5^(1/2)+1))/2*x+1)=0得：
x6 = -3.009149848376262e-12*(195332662682*%i+268852345393)
x7= 3.009149848376262e-12*(195332662682*%i-268852345393)

解四  (x^3+((-5^(1/2)-1)/2)*x^2+((5^(1/2)+3)/(5^(1/2)+1))*x-1)=0得：
x8 = -1.161596554373202e-11*(81874942958*%i-26602781595)
x9= 1.161596554373202e-11*(81874942958*%i+26602781595)
x10=1

风花飘飘

通解公式已经找到!