【】【】献给伟大的2015年”五一节“的重磅礼物，希望不要震惊世界！

风花飘飘

x^5-1=0


讨论它的其中两种分解法如下：


表达式 一：
(x^2-((5^(1/2)-1))/2*x+1)*(x^3+((5^(1/2)-1)/2)*x^2+((5^(1/2)-3)/(5^(1/2)-1))*x-1) = x^5-1


所以下面两个多项式的解都是方程x^5-1=0的根。
一、(x^2-((5^(1/2)-1))/2*x+1)=0
二、(x^3+((5^(1/2)-1)/2)*x^2+((5^(1/2)-3)/(5^(1/2)-1))*x-1)=0




表达式 二：
(x^2+((5^(1/2)+1))/2*x+1)*(x^3+((-5^(1/2)-1)/2)*x^2+((5^(1/2)+3)/(5^(1/2)+1))*x-1) = x^5-1


所以下面两个多项式的解都是方程x^5-1=0的根。
三、(x^2+((5^(1/2)+1))/2*x+1)=0
四、(x^3+((-5^(1/2)-1)/2)*x^2+((5^(1/2)+3)/(5^(1/2)+1))*x-1)=0




下面讨论它的根的情况：（根式解暂不去管它，仅看数值解的情况）：


解一   (x^2-((5^(1/2)-1))/2*x+1)=0得：
x 1= -2.68900017628891e-12*(353684066175*%i-114918919344)
x2 = 2.68900017628891e-12*(353684066175*%i+114918919344)


解二  (x^3+((5^(1/2)-1)/2)*x^2+((5^(1/2)-3)/(5^(1/2)-1))*x-1)=0得：
x3 = -5.334338751777253e-12*(110188962427*%i+151662095720)
x4 = 5.334338751777253e-12*(110188962427*%i-151662095720)
x5=1


解三  (x^2+((5^(1/2)+1))/2*x+1)=0得：
x6 = -3.009149848376262e-12*(195332662682*%i+268852345393)
x7= 3.009149848376262e-12*(195332662682*%i-268852345393)


解四  (x^3+((-5^(1/2)-1)/2)*x^2+((5^(1/2)+3)/(5^(1/2)+1))*x-1)=0得：
x8 = -1.161596554373202e-11*(81874942958*%i-26602781595)
x9= 1.161596554373202e-11*(81874942958*%i+26602781595)
x10=1


这才是x^5-1=0的真正的解法，起码这10个根都是x^5-1=0的根，这有什么问题？
从数值解来看，我说我推翻了”高斯基本定理“有何不妥？


——————以上是蝶恋花献给2015年”五一劳动节“的礼物0501北京

luyuanhong

学过代数的人都知道，方程 z^5-1=0 有且仅有五个根，这五个根是

z1 =1

z2 = cos72° + i sin72° = (-1+√5)/4 + i √(10+2√5)/4 = 0.309016994374947 + 0.951056516295153 i

z3 = cos72° - i sin72° = (-1+√5)/4  - i √(10+2√5)/4 = 0.309016994374947 - 0.951056516295153 i?

z4 = cos144° + i sin144° = (-1-√5)/4 + i√(10-2√5)/4 = -0.809016994374947 + 0.587785252292473 i

z5 = cos144° - i sin144° = (-1-√5)/4 - i√(10-2√5)/4 = -0.809016994374947 - 0.587785252292473 i?

楼上的  x5 = x10 = 1 ，就是 z1 。

楼上的  x2=x9 ，就是 z2 。

楼上的  x1=x8 ，就是 z3 。

楼上的  x4=x7 ，就是 z4 。

楼上的  x3=x6 ，就是 z5 。

所以，楼上给出的解，样子搞得极其复杂，看起来好像有 10 个根，

其实，去掉复杂的外表和重复后，就是大家都知道的 z^5-1=0 的那五个根。

风花飘飘

谢谢陆老师指正！
我不赞同《科学网》应教授解5次方程的方法。

wangyangke

鲍丰武一锤定音了：司炉先生的这个“哥弟拔河柴响”的证明是靠谱的！