设 A=∑(k=1,∞)k(5/6)^k(1/6) ，证明 A=(5/6)(1+A) ，并说明其意义

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

A=1X(5/6)X(1/6)+2X(5/6)^2(1/6)+3X(5/6)^3(1/6)+.....

(1) 證明:A滿足: A=(5/6)X(1+A)

(2)說明(1)中等式的意義

luyuanhong

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如果要考虑前两次掷骰子，就要分成三种情况讨论：

（一）第一次出现 6 点，概率为 1/6 。

    在这种情况下，掷骰子次数的期望值为 0 。

（二）第一次不出现 6 点，第二次出现 6 点，概率为 (5/6)(1/6) 。

    在这种情况下，掷骰子次数的期望值为 1 。

（三）第一次、第二次都不出现 6 点，概率为 (5/6)^2 。

    在这种情况下，掷骰子次数的期望值为 2+A 。

所以有

  A = 1/6×0 + (5/6)(1/6)×1 + (5/6)^2(2+A)

    = 5/36 + 25/36(2+A) 。

解这个方程，仍然可以得到 A=5 。

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如果要考虑前三次掷骰子，就要分成四种情况讨论：

（一）第一次出现 6 点，概率为 1/6 。

    在这种情况下，掷骰子次数的期望值为 0 。

（二）第一次不出现 6 点，第二次出现 6 点，概率为 (5/6)1/6 。

    在这种情况下，掷骰子次数的期望值为 1 。

（三）第一次、第二次都不出现 6 点，第三次出现 6 点，概率为 (5/6)^2(1/6)。

    在这种情况下，掷骰子次数的期望值为 2 。

（四）第一次、第二次、第三次都不出现 6 点，概率为 (5/6)^3。

    在这种情况下，掷骰子次数的期望值为 3+A 。

所以有

  A = 1/6×0 + (5/6)(1/6)×1 + (5/6)^2(1/6)×2 + (5/6)^3(3+A)

    = 455/216 + 125/216(3+A) 。

解这个方程，仍然可以得到 A=5 。