已知 a/b=c/d=e/f ，证明 a/b=c/d=e/f=(ax+cy+ez)/(bx+dy+fz)

luyuanhong

题  已知 a/b=c/d=e/f ，证明 a/b=c/d=e/f=(ax+cy+ez)/(bx+dy+fz) 。

证  设 a/b=c/d=e/f=k ，则有 a=bk ，c=dk ，e=fk 。

    所以有

     (ax+cy+ez)/(bx+dy+fz)=(bkx+dky+fkz)/(bx+dy+fz)

         =k(bx+dy+fz)/(bx+dy+fz)=k=a/b=c/d=e/f 。


注  如果把其中的 y 代换成 -y ，就有

    a/b=c/d=e/f=(ax-cy+ez)/(bx-dy+fz) 。


    但是 a/b=c/d=e/f=(ax1+cy1+ez1)/(bx2+dy2+fz2) 不一定成立。

    举一个简单的反例，设 x1=2 ，x2=1 ，y1=z1=y2=z2=0 ，这时

  (ax1+cy1+ez1)/(bx2+dy2+fz2)=(2a+0c+0e)/(b+0d+0f)=2a/b≠a/b 。