为什么数学命题需要证明

qwerty

关于数学定理的讨论

问：为什么要对数学命题进行证明？

答：为了得到一个定理。

问：得到这个定理是为了什么？

答：有了定理以后，今后遇到同类事物就可以不经过思考，直接照搬就可以下一个判断（例如我们知道了勾股定理，遇到直角三角形可以不经过思考就明白了其中的关系）。

问：会不会出现同一类事物在不同的时间会有完全不同的结论？

答;：不会，因为逻辑是永恒的，一个定理一旦获得证明，永远不会被推翻。

问：数学定理的本质是什么？

答：是一个数学概念的本质属性获得明确的全称断定，没有一个例外。

问：我注意到了你说的“本质属性”，难道还有什么概念不是本质属性吗？

答：概念可以划分：

1，包含本质属性的，有普遍概念和单独概念，数学命题就是这一类概念（例如：“素数无穷多”就是普遍概念的命题，“π是超越数”就是单独概念的命题）。


         普遍概念，反映的是一个对象以上的概念，反映的是一个“类”，这个词项的内涵由为了包含在词项外延所必须具有的事物的性质组成。例如：工人，无论“石油工人”，“钢铁工人”，还是“中国工人”，“德国工人”，它们必然地具有“工人”的基本属性。数学中的普遍概念有例如“素数”，“合数”，等。

单独概念反映独一无二的概念，例如，上海，孙中山，，，。它们反映的概念都是独一无二的，内涵与外延相等。数学中的单独概念有“e”“Π”。

2，有一些不包含本质属性的，例如集合概念，集合概念的命题不属于数学证明范围，特别是集合概念是不需要证明的，只是归纳总结。

集合概念反映的是集合体，这个词项的外延由词项所应用的事物集合组成，例如“中国工人阶级”，集合体的每一个个体不是必然具备集合体的基本属性，例如某一个“中国工人”，不是必然具有“中国工人阶级”的基本属性。所以集合概念无法获得逻辑证明，需要逐一对这个词项的每一个个体（普遍概念或者单独概念）进行证明。就是说，集合概念只要总结就可以了（例如，“相差不大于10的素数对”就是一个集合概念，包含了相差2的，相差4的，相差6的，相差8的，相差10的素数对）。

问：你不厌其烦地说这个问题为了什么？

答：为了未来的数学家不再重复错误，不再对集合概念的命题进行所谓“证明”而浪费时间。在证明一个命题之前就考虑这个命题是否合理。因为一个没有包含每一个个体本质属性的命题是无法一次完成证明的。


问：为什么数学命题是“普遍概念的”证明才有效？

答：“普遍概念”的这个词项的内涵由为了包含在词项外延必须具有的事物性质组成。在证明过程中，自然而然地符合了三段论公理：

凡是对一类事物性质有所肯定，则对该类事物中的每一个分子的性质也应该有所肯定；

凡是对一类事物性质有所否定，则对该类事物中的每一个分子的性质也应该有所否定。

用下面图表示：



从概念的外延方面看，

图1表示：s类包含于m类，m类包含于p类，所以，s类包含于p类；

图2表示：s类包含于m类，m类与p类全异，所以，s类与p类全异。

三段论公理的客观基础就是类与类的包含关系和全异关系，是人类亿万次重复实践中总结出来的不证自明的性质。我们数学证明的目的----就是获得一类事物（数学概念）的性质，三段论公理是我们在证明一个定理过程中几个板块对接的基本要求。

问：集合概念可以套用三段论公理吗？

答：不能！

集合概念的这个词项的外延由词项所应用的事物集合组成，组成的每一个分子不是必然具有这个词项的基本属性，（或许这个集合概念的每一个分子“类”都有某种属性，都是必须逐一证明），集合概念也有包含关系，但是，只是形式的包含（形式是事物的外在表现，不需要证明，往往是一目了然），不是性质的包含，最典型的就是费马数：

，（其中n为非负整数）。费马数是指一种数的形式，所以是一种形式“数”的集合概念，但是要断言具有某种性质，就变成了普遍概念，例如“费马素数”或者“费马合数”都是普遍概念。由于n可以无穷多，我们理所当然地认为费马数无穷多，是指这种集合概念的“费马数”无穷多，而不是指“费马素数”或者“费马合数”无穷多，如果它们有无穷多，必须通过严格的证明。就是说，集合概念不能套用三段论公理，“费马数”无穷多，不能说“费马素数”无穷多或者“费马合数”无穷多，尽管它们加起来的确是无穷多，因为不是费马合数无穷多，就是费马素数无穷多，或者两个都是无穷多。

问：哦，我明白了，三段论公理针对事物的性质，而不是事物的形式。

答：对了，事物的形式往往是一目了然，不需要证明，事物的性质是数学和其他学科追寻的。

问：一些数学家证明了“表大偶數為一個不超過a個素數的乘積及一個不超過b個素數的乘積之和”是什么概念的命题？

答：你很聪明，应该自己分析哟。