孪生质数有无穷多（续2）

张连元

第三节    计算 dH(n)并找出它的变化规律
1.   A轴和B轴上代表合数的点总有一部分能彼此对应构成合合点对，这时na=nB。如果A轴上

序数为α^'的合数跟B轴上序数为γ^'的合数彼此对应构成合合点对，则有
     (6a–1)α^'+a=(6c–1)γ^'–c    α^'=((6c–1)γ^'–c–a)/(6a–1)   或  γ^'=((6a–1) α^'+c+a)/(6c–1)
     能看出α^'和γ^'随a,c值的不同而不同。下面是以B轴上c=1时的合数跟A轴上a=1,2,3,4……时的合数对应构成合合点对的情况。
a=1时 (6c–1)γ^'–c=(6a–1)α^'+a
            5γ^'–1=5α^'+1  γ^'=(5α^'+2)/5=α^'+2/5     无整数解（即无对应的合合点对）
        a=2时 (6c–1)γ^'–c=(6a–1)α^'+a
            γ^'=((6a–1) α^'+c+a)/(6c–1) ，γ^'=(11α^'+3)/5   左式有两个未知数，但为使γ^'是整数，α^'  的个位 数必须是2和7才行，即α^'=2,7,12,17….  由于分母5源于(6c–1)，分子中的11源于(6a–1),  所以解之得                    α^'=(6c–1) γ–3=5γ–3
γ^'=(6a–1)α–6=11α–6  
             α和γ是c=1，a=2时彼此对应所构成合合点对的序数，α=γ   
             即：α=γ   1     2     3      4.......   α=γ 是c=1, a=2时合合点对的序数。
                 α^'      2     7     12     17…….  α^'是A轴上a=2时合数的序数。
                 γ^'      5    16     27     38……   γ^'是B轴上c=1时合数的序数。
                na=nB      24    79    134    189…….   
              两相临合合点对之间的距离是(6c–1)(6a–1)=5×11=55
        a=3时 (6c–1)γ^'–c=(6a–1)α^'+a
            γ^'=((6a–1) α^'+c+a)/(6c–1)   ,  γ^'=(17α^'+4)/5  解之得  α^'= (6c–1)γ–2=5γ–2  
   γ^'=(6a–1)α–6=17α–6
        a=4时 (6c–1)γ^'–c=(6a–1)α^'+a
           γ^'=((6a–1) α^'+c+a)/(6c–1) ,  γ^'=(23α^'+5)/5  解之得   α^'= (6c–1)γ–0=5γ–0
〖  γ〗^'=(6a–1)α+1=23α+1
        a=5时 (6c–1)γ^'–c=(6a–1)α^'+a
           γ^'=((6a–1) α^'+c+a)/(6c–1) ,  γ^'=(29α^'+6)/5  解之得   α^'= (6c–1)γ–4=5γ–4
γ^'=(6a–1)α–22=29α–22
a=6时 (6c–1)γ^'–c=(6a–1)α^'+a
              γ^'=((6a–1) α^'+c+a)/(6c–1)  ,  γ^'=7α^'+7/5    无整数解
        a=7时 (6c–1)γ^'–c=(6a–1)α^'+a
         γ^'=((6a–1) α^'+c+a)/(6c–1) ,  γ^'=(41α^'+8)/5  解之得   α^'= (6c–1)γ–3=5γ–3
〖  γ〗^'=(6a–1)α–23=41α–23
        a=8时 (6c–1)γ^'–c=(6a–1)α^'+a
          γ^'=((6a–1) α^'+c+a)/(6c–1) ,  γ^'=(47α^'+9)/5  解之得    α^'= (6c–1)γ–2=5γ–2
〖  γ〗^'=(6a–1)α–17=47α–17
        a=9时 (6c–1)γ^'–c=(6a–1)α^'+a
              γ^'=((6a–1) α^'+c+a)/(6c–1) , γ^'=(53α^'+10)/5  解之得   α^'= (6c–1)γ–0=5γ–0
                                                    γ^'=(6a–1)α+2=53α+2
        a=10时 (6c–1)γ^'–c=(6a–1)α^'+a
           γ^'=((6a–1) α^'+c+a)/(6c–1) ,  γ^'=(59α^'+11)/5  解之得   α^'= (6c–1)γ–4=5γ–4
γ^'=(6a–1)α–45=59α–45
        a=11时 (6c–1)γ^'–c=(6a–1)α^'+a
               γ^'=((6a–1) α^'+c+a)/(6c–1) ,  γ^'=13α^'+12/5    无整数解……等等
      由此可得出A,B轴上构成合合点对时的表达式可写成：
        n=(6c–1)((6a–1)α–k)–c  或  n=(6a–1)((6c–1) γ–k^')+a   
两相临合合点对之间的距离是(6c–1)(6a–1)。
      从上例可看出：当c一定，a递增时，k^'是按周期循序变化的。如上例c=1而 a递增时中的k^'即按无整数解、3、2、0、4、无整数解、3、2、0、4……的顺序循环；同样，当a一定，c递增时，k也是按周期循序变化的。
进一步讨论：
当A轴上序数为α^'的合数跟B轴上序数为γ^'的合数彼此对应构成合合点对时有   
  (6a–1)α^'+a=(6c–1)γ^'–c    α^'=((6c–1)γ^'–c–a)/(6a–1)   或  γ^'=((6a–1) α^'+c+a)/(6c–1)
当a=c时  α^'=((6c–1)γ^'–c–a)/(6a–1)=((6c–1)γ^'–c–c)/(6c–1)=γ^'-2c/(6c–1)      
                  γ^'=((6a–1) α^'+c+a)/(6c–1)=((6c–1) α^'+c+c)/(6c–1)=α^'+2c/(6c–1)   ∵ 2c/(6c–1)不可能是整数，故无整数解。
当a值每增加T(6c–1)时有  
      γ^'=({6〔a+T(6c-1)〕-1}α^'+c+a+T(6c-1))/(6c–1)=(6T(6c–1) α^'+(6a–1) α^'+c+a+T(6c–1))/(6c–1)= T(6α^'+1)+((6a–1) α^'+c+a)/(6c–1)
当c值每增加T(6a–1)时有
      α^'=({6〔c+T(6a-1)〕-1} γ^'-〔c+T(6a-1)〕-a)/(6a–1)=(6T(6a–1) γ^'+(6c–1) γ^'-c-T(6a–1)-a)/(6a–1)= T(6γ^'+1)+((6c–1)γ^'–c–a)/(6a–1)
      T是整数, T≧1
     通过以上讨论可得出：第一，k和k^' 随a,c值的不同而不同；第二，有(6c–1)个k值, 和(6a–1)个k^'值（其中含一个没有整数解的）是按某种顺序循环出现的，循环周期分别是(6c–1)和(6a–1)；第三，两相临合合点对之间的距离是(6c–1)(6a–1)。
   我们的目的是要计算出轴A和轴B上彼此对应的合合点对的数量，不必计算合合点对中每个合
数的准确值，为此可令k=0，k^'=0。当n足够大时令k=0，k^'=0对所求合合点对数量的影响可忽略
不计(故以下均令k=0)。因此轴B上的合数点能跟轴A上的合数点彼此对应构成合合点对的n 的表
达式可写为
   n=(6c–1)((6a–1)α)–c                  (3.1)注1
   式中变量都是正整数。  
     根据(3.1)式  n=(6c–1)((6a–1)α)–c
当c=1，α=1时a最大，为a_max 即  n=5(6a_max–1) –1 ,   a_max=(n+6)/30
当a=1，α=1时c最大，为c_max 即  n=5(6c_max–1) –c_max ,  c_max=(n+5)/29
   故轴长为n时,令〖hh〗_1代表A、B两轴上彼此构成合合点对的个数,根据(3.1)式可计算出〖hh〗_1
     由于a=c时A,B轴上永不会有合合点对，故应减去这一部分，由此得
     〖hh〗_1=∑▒α=∑_(1≤c≤c_max)^(1≤a≤a_max)▒[(n+c)/(6a-1)(6c-1) ] –∑_(1≤c≤c_max)^(a=c)▒[(n+c)/(6a-1)(6c-1) ] = m1
  因轴A和轴B上构成的合合点对是按(6c–1)(6a–1)的间距成正比增加的，所以当n足够大且轴
长是2n时两轴上合合点对的个数〖hh〗_1^'必然趋近于轴长为n时两轴上合合点对的个数〖hh〗_1的2倍，
即〖hh〗_1^'≈2〖hh〗_1（此理同样适用以下各部）。
根据(3.1)式，N=(6c–1)((6a–1)α)–c    N=2n
    当c=1，α=1时a最大，为a_max^'   即  N=2n=5(6a_max^'–1) –1 ,  a_max^'=(N+6)/30=(2n+6)/30
当a=1，α=1时c最大，为c_max^'  即  N=2n=5(6c_max^'–1) –c_max^' ,  c_max^'=(N+5)/29=(2n+5)/29
当n→∞时   (a_max^')/( a_max )=2     (c_max^')/( c_max )=2
当轴长为N=2n时,令〖hh〗_1^'代表A、B两轴上彼此构成合合点对的个数,根据(3.1)式可计算出〖hh〗_1^'
  〖hh〗_1^'=∑▒α=( ∑_(1≤c≤c_max)^(1≤a≤a_max)▒[(2n+c)/(6a-1)(6c-1) ] –∑_(1≤c≤c_max)^(a=c)▒[(2n+c)/(6a-1)(6c-1) ]  )
+( ∑_((c_max+1)≤c≤c_max^')^(a=1)▒〖[((2n-n)+c)/(6a-1)(6c-1) ]+〗 ∑_((c=1)^((a_max+1)≤a≤a_max^')▒[((2n-n)+c)/(6a-1)(6c-1) ]  )
=( ∑_(1≤c≤c_max)^(1≤a≤a_max)▒〖([(n+c)/(6a-1)(6c-1) ] 〗+[(n+c)/(6a-1)(6c-1) ]-[c/(6a-1)(6c-1) ])
    –∑_(1≤c≤c_max)^(a=c)▒〖([(n+c)/(6a-1)(6c-1) +(n+c)/(6a-1)(6c-1) -c/(6a-1)(6c-1) ])〗 )
  +( ∑_(1≤c≤c_max)^(1≤a≤a_max)▒〖([{(n+c)/(6a-1)(6c-1) }+{(n+c)/(6a-1)(6c-1) }-{c/(6a-1)(6c-1) }] 〗)
–∑_(1≤c≤c_max)^(a=c)▒〖([{(n+c)/(6a-1)(6c-1) }+{(n+c)/(6a-1)(6c-1) }-{c/(6a-1)(6c-1) }])〗 )
+（∑_((c_max+1)≤c≤c_max^')^(a=1)▒〖[((2n-n)+c)/(6a-1)(6c-1) ]+〗 ∑_((c=1)^((a_max+1)≤a≤a_max^')▒[((2n-n)+c)/(6a-1)(6c-1) ] ）
              =2m_1+〖∆m〗_1+μ_1
其中 〖∆m〗_1=∑_(1≤c≤c_max)^(1≤a≤a_max)▒[{(n+c)/(6a-1)(6c-1) }+{((2n-n)+c)/(6a-1)(6c-1) }-{c/(6a-1)(6c-1) }]
            –∑_(1≤c≤c_max)^(a=c)▒[{(n+c)/(6a-1)(6c-1) }+{(n+c)/(6a-1)(6c-1) }-{c/(6a-1)(6c-1) }]
         μ_1=∑_((c_max+1)≤c≤c_max^')^(a=1)▒〖[((2n-n)+c)/(6a-1)(6c-1) ]+〗 ∑_((c=1)^((a_max+1)≤a≤a_max^')▒[((2n-n)+c)/(6a-1)(6c-1) ]
=(c_max^'–c_max)+(a_max^'–a_max)
=n/29+n/30
∵  lim┬(n→∞)  〖〖∆m〗_1+μ〗_1/〖2m〗_1 =0
∴  lim┬(n→∞)  (〖hh〗_1^')/〖hh〗_1  =lim┬(n→∞)  (〖2m〗_1+〖∆m〗_1+μ_1)/m_1 = 2