在直角三角形中求一点 P ，使得 P 到各边距离之和最大，证明 P 是最短边所对的顶点

luyuanhong

ataorj

在直角三角形中求一点 P ，使得 P 到各边距离之和最大，证明 P 是最短边所对的顶点
下面文本段落中小写字母均首先为非负数.
如图设x>=y,
三角形面上且非斜边上任取一点(a,b)[见大红点],
虚线[长度的和]>h,所以a+b+h<a+b+虚线,这说明假设答案是(a,b),则显然(a,b)若取在A点会更合题意,即答案之点在斜边上.
斜边上[非左上端点]任取一点(c,d), 由斜率性质有:
(c-x)/(d-0)=(0-x)/(y-0),即:
(x-c)/d=x/y
(x-[c+d])/d=[x-y]/y

[c+d]=x-d[x-y]/y
上式右边中[x-y]>=0且据题意x,y都是定值,所以d=0可使右边有最大值[该值为x],
也即d=0可使左边[c+d]最大
即点(x,0)就为所求.
上面没分析斜边上左上端点(0,y),
显然，只有x=y时，(0,y)才能也是答案点。