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对于不定方程x±y=2n在某固定范围内解的组数问题，
它与哥德巴赫猜想一样，含有小素数因子的偶数的解组数要多，
而不含小素数因子的相对来说要少，那么这个因子如何确认呢？
在10000内总共累计解的组数为1604210,安理论值能整除3的偶数
的解组数占50%，即802105，实际为799842，没有占到一半，
这是因为对于模3来说，余1和余2的素数个数不均衡所致，
还有一个重要问题就是，对于素数3加上任何素数（除本身外）
都得到其他的偶数，而不会得到能整除3的偶数，在10000内
有奇素数1228个（包括3本身），这样有1227*2=2454组落到
余数1或2上，而只有1组3+3落到了整除3的偶数上，所以比
理论值少了2000多，还有一个问题就是，余数1,2所拥有的
素数个数不均衡，也会造成小微的偏差，这就好比（a+b）^2,
当a与b相等时，a^2,b^2,2ab，才会形成1/1/2的比例，也
就是说，这时是理论值，而如果a=105，b=95，则a^2,b^2,2ab
的比值为11025/9025/19950，基本上还是占50%，影响不大，
但是余数1,2浮动比例增大，有它们离平均数的5%，造成了10%
的偏差，这也是哈代细节上的问题，也就是说，不是在大框架
内不成立，而是在细节上有稍微的偏差，引起的主要原因有
两点，一点是素数本身参与了运算，而是对模P来说，各种余数
出现的次数不均衡，在此例中，还有一个小问题，就是样本数
也不均衡，整除3的要少一个。
偶数除3余1的有404075组，安理论值应该为401052组，多了3000
组，大概占0.75%（相对误差）；
偶数除3余2的有400293组，安理论值应该为401052组，少了759
组，大概占0.19%（相对误差）；由此看来绝对误差与相对误差
都比较小。所以实际数据还是支持理论值的。
对素数模3的余数统计结果（在10000内）余1的611个，余2的616
余0的一个，绝对误差5个，相对误差0.81%,这里没有形成2倍的
误差，这是因为素数3起了一定的作用。
在10240230内679473个奇素数，339663个模3余1的，模3余2的
339809个，一个模3余0，绝对误差146个,相对误差0.043%，
所以最大相对误差不超0.086%.计算结果显示，模3余0的累计
绝对误差为范围内素数个数级别，因为总数为素数个数的平方，
所以相对误差为LN(n)/n，
无100内素数因子的偶数共计1317个，共计有281037组解，平均
213.39组，最大值238，最小值168，偏差-0.2127至+0.1153，
上下偏差都很大。
只有因子3的偶数共计614个，共计有260873组解，平均424.87
是没有因子的2倍略低(1.99),最大值456，最小值384，偏差
"-0.0962至+0.0733，浮动范围明显收窄；
后边有30个偶数的统计值与公式值是完全一样的。
通过5000个样本得到数据是：偏差范围（-0.1558,+0.1960),
小于公式解的只有173个偶数，与公式解相同有30个偶数，绝大
部分的偶数，公式解要小于实际值，有4797个偶数，这是因为
在加法运算中落到前周期内的数要多于落到后周期的，而减
法中是落到前周期与后周期完全一样，只是有素数个数个值为0
也就是说，不到一半，但是很接近。
公式解累计为1504330组，这比整体公式解还少2426组，均不到
0.5个。安理论上，各个偶数的系数之和应该为n，即1000，可
系数累计为9978.53，少了21,47份，每份有150.80个，少了
3238组解，与1504330相加为1507568组，安分配值1228^2=
1507984，与实际分配1507568，还多416组。不过这种误差
应该是较小的，之所以有大的出入，是因为小素数比大素数多
造成的，5000之内有素数668个，而5000至10000之间有560个，
（668+560）^2=668^2+2*668*560+560^2,668^2肯定都落到
10000之内，560^2肯定落到10000以外，但是2*668*560的最少
一半落到10000之内（应该多于此数），如果复杂点，还可以
把后半部在2分，得到0.5,0.75,1这样三段，那数据会更准确
些，对半分时有668^2+668*560=820304组，占总体的0.5440,
实际有850832组，占总体的0.5642.
实际有1604210组，与公式解1504330，比值为1.066395,
均值上浮6.64%,所以在哈代公式中，上下界限为20%以内。
在后边的分段表中，标记红色的是落到范围内的，绿色的
最起码有一半落到范围以内。为了比较我们可以分10段，
100段，看一下即可。拿1000万内的素数做样本，如果分成100段
则落到1000万以内的有53.55%；如果分成10段，则为53.48%；
减少了0.07%，所以分段越多，越接近真实值，从这里可以
看出，扩大范围其占比是在减小，而不是增大，但是到无限大
时，会不会占到50%呢?
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发表于 2019-1-29 13:22
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