求证勾股数之一必为4的倍数

费尔马1

最简勾股数（即a，b，c两两互质）中，a，b为直角边，c为斜边，
求证：必有一条直角边是4的倍数，斜边一定是奇数。
本题也可以这样，最简勾股数的三边为a，b，c两两互质，c为斜边，
求证：a，b，c三个数，有两个奇数一个偶数（简称二奇一偶），其中，一条直角边为偶数且是4的倍数。

费尔马1

那位同志说了，a，b，c两两互质，二奇一偶是必然的，那么，为什么不能斜边c是偶数、两条直角边是奇数呢？

xxxxxxxx

求勾股数的公式为  x = 2ab，y = a^2 - b^2，z = a^2 + b^2。其中，( a, b ) = 1，
a > b > 0，a，b 为一奇一偶。因此，直角边 x 必为 4 的倍数，而斜边 z 必为奇数。
如果斜边 z 为偶数，人们已经证明，方程 x^2 + y^2 = z^2 是无正整数解的。……

任在深

xxxxxxxx 发表于 2019-2-2 08:41
求勾股数的公式为  x = 2ab，y = a^2 - b^2，z = a^2 + b^2。其中，( a, b ) = 1，
a > b > 0，a，b 为一 ...

看来“人们”是不懂得数学的？！

      注意！  

                 (√2n)^2=(√Pn)^2+(√Qn)^2≡Z^2=X^2+Y^2

   其中    Z^2= (√2n)^2=2n"   都是偶数！

费尔马1

xxxxxxxx 发表于 2019-2-2 08:41
求勾股数的公式为  x = 2ab，y = a^2 - b^2，z = a^2 + b^2。其中，( a, b ) = 1，
a > b > 0，a，b 为一 ...

勾股数的公式为  x = 2ab，y = a^2 - b^2，z = a^2 + b^2。其中，a，b为任意正整数，a＞b，没有说明a，b互质，再说了，倘若a，b互质，也并非一奇一偶，两个奇数也可以互质。况且您的公式里的x，y，z才是我的命题中的a，b，c。您的这个勾股数通式所得到的勾股数并不是全部两两互质，因此，这不是勾股数的最简公式。

费尔马1

非常感谢两位老师的关注！

xxxxxxxx

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

费尔马1

xxxxxxxx 发表于 2019-2-2 18:01
其中，（a, b）= 1 就是说，a,b 是互质的！看来，你的数论知识还有待于提高！恕不再回复！……

老师您好，非常感谢！我把您的限制条件给误解了，a，b为一奇一偶，我没有仔细思考。
您的这样的条件下也可以得到所有的最简勾股数，很好，您的证明是正确的。
本题还有其它证明方法。
求勾股数的公式为  x = 2ab，y = a^2 - b^2，z = a^2 + b^2。其中，( a, b ) = 1，
a > b > 0，a，b 为一奇一偶。因此，直角边 x 必为 4 的倍数，而斜边 z 必为奇数