AD 是 ΔABC 高，DF⊥AB，DE⊥AC，高 BG 与 EF 交于 H，则 ΔABC～ΔAEF，DEGH 是矩形

ccmmjj

如图，锐角三角形ＡＢＣ，从高ＡＤ的Ｄ点向ＡＢ、ＡＣ作垂线ＤＦ、ＤＥ。Ｅ、Ｆ是垂足。
（１）求证：三角形ＡＢＣ相似于三角形ＡＥＦ。
（２）高ＢＧ和ＥＦ交于Ｈ点，求证：四边形ＤＥＧＨ是矩形。追问：ＤＥＧＨ有没有可能是正方形？

ccmmjj

（１）证明一：由高的定义，∠ADC=90°,又由垂直定义，∠DEC=90°,∠DFB=90°。
　　　　所以，∠ADE=∠C .又有Ａ、Ｅ、Ｆ、Ｄ四点共圆，得 ∠AFE=∠ADE.
             于是有 ∠AFE=∠C；这样由角相等即得　△ABC∽△AEF.

         证明二：由前面垂直条件知，Ａ、Ｅ、Ｆ、Ｄ四点共圆，还有可得AD是此圆直径。
              又由BC垂直AD， 知BC是此圆切线，Ｄ是切点。由圆幂定理，可知
　　　　　　BD^2=BF*BA ,即有　BD^2=BA^2-BA*AF,移项有BA*AF=BA^2-BD^2=AD^2,
            同理， CD^2=CF*CA ＝CA^2-CA*AE,也有CA*AE=AD^2.即ＡＢ*ＡＦ＝ＡＣ*ＡＥ；
　　　　得 AB/AC=AE/AF,又有相同的夹角，所以：△ABC∽△AEF.
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（２）的证明先留半天，是不是太简单了，没有人响应。

Future_maths

证明BDHF共圆。

ccmmjj

这个题目要用同一法证明。当然要用到四点共圆，但是直接使用四点共圆可是不容易啊！

luyuanhong

楼上 ccmmjj 的帖子很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。