【趣题征解】证明：在边长为2的正方形内任何5个点中，总有2个点，它们的距离≤√2

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/07/09 04:13pm 第 1 次编辑]

【趣题征解】证明：在边长为 2 的正方形内的任何 5 个点中，总有 2 个点，它们的距离不大于 √2 。

wangyangkee

胡思乱想：
  1，  显然，在边长为 2 的正方形内的任何 2个点中的最远距离为2√2 ；
  2，  在边长为 2 的正方形内布4个点，使任何 2个点中的距离最大；显然，四个点布置在正方形的顶点上；最远距离为2√2 ；  
  3，  今要再加布一点，使任意两点的距离最大；显然，点子布置在中央；点子距离的极大值为2√2 。

trx

下面引用由luyuanhong在 2010/07/09 04:05pm 发表的内容：
【趣题征解】证明：在边长为 2 的正方形内的任何 5 个点中，总有 2 个点，它们的距离不大于 √2 。

这是一个典型的“形”“数”相结合之命题！（必须首先把该正方形平分为四个相同的小正方形后再进行讨论论证即可！）
设A,B,C,D四点位于该正方形的四角顶点，点E位于该正方形中点，则点E分别到A,B,C,D四点之距皆为√2 。则该命题为伪命题。

trx

请楼主今后不要再帖发如此的伪命题！！！

luyuanhong

题  证明：在边长为 2 的正方形内的任何 5 个点中，总有 2 个点，它们的距离≤√2 。

证  把边长为 2 的正方形分成 4 个边长为 1 的小正方形区域。
    两个小正方形的边界，总可以划归其中的一个小正方形，总可以使得 4 个区域互不重叠。
    由于大正方形分成了 4 个互不重叠的小正方形区域，所以，根据“鸽笼原理”，在大正
方形中任意取 5 个点，这 5 个点中，至少总有两个点落在同一个小正方形区域内。
    在一个边长为 1 的小正方形区域内，两点之间的最远距离，是小正方形对角线长度 √2 ，
所以，落在同一个小正方形区域内的两个点，它们的距离必定不大于√2 ，也就是 ≤√2 。