群中两元可交换的一个充分条件

fleurly

群G的两个正规子群H和K, 若H与K的交为E(仅含单位元)， 那么对于任意H中的元h, K中的元k, 有hk=kh
证明：
1. 对于G的任意一个正规子群H, h是H的任意一个元， g是G的任意一个元， g';是g的逆， 因为gHg'; = gg';H = H, 所以ghg';属于H.
hkh';k';= (hkh';)k';= h (kh';k';)
hkh';属于K,所以 (hkh';)k';属于K
同样,h (kh';k';)属于H
所以hkh';k';属于H与K的交， 也就是hkh';k';=e
因此hk=kh
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因为没法打出-1的指数， 所以上边的h';, k';分别指的h与k的逆  

cjsh

交换群子群都是正规子群
几个群交为e,且元素乘可互换，这几个群值积为交换群