在 Z[X] 上分解 X^5+X^4+4X^3+7X^2+9X+18

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

在 Z[X] 上 分解 X^5+X^4+4X^3+7X^2+9X+18

luyuanhong

风花飘飘

X^5+X^4+4X^3+7X^2+9X+18 =
=【 ((4*sqrt(3)*sqrt(61)-54)*x^2+(2*sqrt(61)-3^(5/2))^(1/3)*((2*3^(5/2)-4*sqrt(61))*x+(2*sqrt(11)*sqrt(61)-3^(5/2)*sqrt(11))*%i-2*sqrt(61)+3^(5/2))+(2*sqrt(61)-3^(5/2))^(2/3)*(2*x-sqrt(11)*%i+1)+((27*sqrt(11)-2*sqrt(3)*sqrt(11)*sqrt(61))*%i+2*sqrt(3)*sqrt(61)-27)*x)/(4*sqrt(3)*sqrt(61)-54) 】*【 ((3892*3^(3/2)*sqrt(61)-157950)*x^3+(2*sqrt(61)-3^(5/2))^(2/3)*((8*3^(7/2)*sqrt(61)-2922)*x^2+((4*3^(7/2)*sqrt(11)*sqrt(61)-1461*sqrt(11))*%i+4000*sqrt(3)*sqrt(61)-54111)*x+(1946*sqrt(3)*sqrt(11)*sqrt(61)-26325*sqrt(11))*%i+1946*sqrt(3)*sqrt(61)-26325)+(2*sqrt(61)-3^(5/2))^(1/3)*((11676*sqrt(61)-650*3^(9/2))*x^2+((5838*sqrt(11)*sqrt(61)-325*3^(9/2)*sqrt(11))*%i+5622*sqrt(61)-25351*sqrt(3))*x+(487*sqrt(3)*sqrt(11)-108*sqrt(11)*sqrt(61))*%i-108*sqrt(61)+487*sqrt(3))+((1946*3^(3/2)*sqrt(11)*sqrt(61)-78975*sqrt(11))*%i+1946*3^(3/2)*sqrt(61)-78975)*x^2+(3892*sqrt(3)*sqrt(61)-52650)*x+(1946*sqrt(3)*sqrt(11)*sqrt(61)-26325*sqrt(11))*%i+1946*sqrt(3)*sqrt(61)-26325)/(3892*3^(3/2)*sqrt(61)-157950) 】=0

风花飘飘

X^5+X^4+4X^3+7X^2+9X+18 =【x^2+N】*【x^3+M】=0

其中：
N=(-324)^(1/5)
M=18/(-324)^(1/5)

luyuanhong

当 N=(-324)^(1/5) ，M=18/(-324)^(1/5) 时，

(x^2+N)(x^3+M) = x^5-18^(2/5)x^3-3*24^(1/5)x^2+18

≠ x^5+x^4+4x^3+7x^2+9x+18

风花飘飘

是的，是的……
在有理数域确实正确。

(x^2+N)(x^3+M) = x^5-18^(2/5)x^3-3*24^(1/5)x^2+18
≠ x^5+x^4+4x^3+7x^2+9x+18

风花飘飘

方程x^5+x^4+4x^3+7x^2+9x+18 =0的一个根

X^5+X^4+4X^3+7X^2+9X+18 =【x^2+N】*【x^3+M】=0
其中：
N=(-324)^(1/5)
M=18/(-324)^(1/5)

在复数域，存在M、N的两个表达式：A、B
使得A*B=18；且满足x^4+4x^3+7x^2+9x=-18^(2/5)x^3-3*24^(1/5)x^2

设A=a+b；B=a-b，
即a^2-b^2=18———————（1）

有
x^4+4*x^3+7*x^2+9*x=(a-b)*x^3+(a+b)*x^2= -18^(2/5)x^3-3*24^(1/5)x^2——（2）
令（2）后部系数对应得：
a-b=-18^(2/5)——————（3）
a+b=-3*24^(1/5)————————（4）

联立（1）、（3）、（4）得：
a = -(18^(3/5)+18^(2/5))/2————————（5）
b = (2^(2/5)*3^(4/5)-2^(3/5)*3^(6/5))/2——————————（6）

由（2）的前部解得方程的一个（不等于0的）根为：
x1 = (sqrt(-b^4+38*b^3-(-2*a^2+142*a-725)*b^2-(-90*a^2+630*a-486)*b-a^4-18*a^3+177*a^2+82*a+543)/(2*3^(3/2))+(-2*b^3+a*(6*b^2+48*b-3)-33*b^2-69*b+a^2*(-6*b-15)+2*a^3-119)/54)^(1/3)+(b^2+11*b+a*(-2*b-5)+a^2-5)/(9*(sqrt(-b^4+38*b^3-(-2*a^2+142*a-725)*b^2-(-90*a^2+630*a-486)*b-a^4-18*a^3+177*a^2+82*a+543)/(2*3^(3/2))+(-2*b^3+a*(6*b^2+48*b-3)-33*b^2-69*b+a^2*(-6*b-15)+2*a^3-119)/54)^(1/3))-(b-a+4)/3 ————————（7）

将（5）、（6）代入（7）化简得方程(2)的一个根为：
x1=

…………
(略……只好略啊，我没那么强大的计算软件，半手工计算实在太累啊！）

风花飘飘

   
上面7楼以一个具体的实例，系统的展示了【如何解一元五次方程】，

解一元五次方程的【蝶恋花公式】早已经问世！

只是本人不懂编程，半手工计算实在繁琐。