[求助]求证1+1/2^s+1/3^s+…+1/n^s+…当s＜1时极限不存在。

LLZ2008 · 发表于 2010-7-14 07:57

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求证1+1/2^s+1/3^s+…+1/n^s+…当s＜1时极限不存在。

wangyangkee · 发表于 2010-7-14 08:33

1，1+1/2^s+1/3^s+…+1/n^s+…当s=1时极限不存在；详下面的链接中，波浪的图片。
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=4586&start=48&show=0&man=
2，当s＜1时，1/2^s+1/3^s+…+1/n^s+…中每一加数的分母都比s=1时对应的分母小；1+1/2^s+1/3^s+…+1/n^s+…当s＜1时极限不存在。

luyuanhong · 发表于 2010-7-14 09:58

这个命题证明如下：

LLZ2008 · 发表于 2010-7-14 11:01

谢谢你们！我读书不多，不知我这样证明可否。

luyuanhong · 发表于 2010-7-14 11:42

楼上 LLZ2008 想到用凹凸函数的性质（即 Jensen 不等式）来证明，也很不错！
楼上的证明，完整地写出如下：

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