求所有的正整数 n ，使得 2^n+12^n+2011^n 为完全平方数

luyuanhong · 发表于 2015-6-12 14:18

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

試求並證明所有的正整數 n 使得 2^n+12^n+2011^n 為完全平方數

王成5 · 发表于 2015-6-13 06:37

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luyuanhong · 发表于 2015-6-13 08:55

谢谢楼上王成5 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

ataorj · 发表于 2015-6-13 09:31

2011=503*4-1,n并非必要是偶数
2^n+12^n+2011^n=h^2 ...(1)
移项,
1) n偶时,可使得(1)右为h^2-1,则右的2因子的数量>1
2) n奇时,可使得(1)右为h^2+1,则右的2因子的数量>0
但是移项后,(1)左的2因子的数量总是=n
至此,无能推断2因子的数量不等

ataorj · 发表于 2015-6-13 12:56

多谢王成5解惑!

ataorj · 发表于 2015-6-13 12:56

多谢王成5解惑!

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求所有的正整数 n ，使得 2^n+12^n+2011^n 为完全平方数

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