数学的层次

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第一个层次也就是最低层次，叫做科学事实，通常表述方式是：有些A是B。例如“有些相差2的奇数是一对素数”。

第二个层次叫做科数学概念：
1，是反映对象的本质属性的思维形式。人类在认识过程中，从感性认识上升到理性认识，把所感知的事物的共同本质特点抽象出来，加以概括，就成为概念，概念属性是普遍概念或者单独概念。表达概念的语言形式是词或词组。

2，集合概念，是反映应用的事物，仍然属于数学事实，表述方式是：有些A是B。

科学概念，特别是数学概念要求更加严格，至少必须具备三个条件：专一性，精确性，可以检验。例如：”孪生素数“就是一个数学概念。

第三个层次叫做数学定理，是对数学概念添加了某种属性，或者说，数学事实经过了严密论证以后，才能成为一个数学定理。表述方式就是：“一切A是B”。例如“素数对有无穷多”。

第四个层次叫做科学（数学）理论，把方法，公式，公理，定理，原理，组合成为一个体系叫做数学理论。例如“初等数论”，由埃氏筛法，公理（例如等量公理），定理（例如费马小定理），原理（例如抽屉原理，一一对应原理），公式等组成。

在逻辑证明中，第一个层次的数学事实无法突破到第三个层次，因为数学不承认数学事实，任何数学事实必须利用数学概念经过正确的演绎证明才能算定理。这是因为数学面对的是无穷，在证实过程中，即使有无穷多个事实a是b，还可能存在无穷个可能a不是b。
作为数学事实的集合概念是无法到达普遍概念的数学定理的。