3^10000 的各位数字之和是 A，A 的各位数字之和是 B，B 的各位数字之和是 C，求 A+B+C

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

3^10000  的各位數字的和是A, A的各位數字的和是B,

B的各位數字的和是C, 求 A+B+C

luyuanhong

题 3^10000 的各位数字之和是 A ，A 的各位数字之和是 B ，B 的各位数字之和是 C ，

   求 A+B+C 。

解  lg(3^10000) = 10000×lg3 = 10000×0.47712… = 4771.2… 。

   可见 3^10000 是一个 4770 位数。因为位数很多，各位数字出现几乎没有什么规律，

可以认为各位数字是在 0～9 中随机取值，每一位上数字的平均值是 4.5 ，所以 4770

位数的各位数字之和的平均值就是 4772×4.5 = 21474 。

    当然 21474 只是一个估计值，真实值应该在这个值附近。

    我们知道，凡是 9 的倍数，它的各位数字之和也是 9 的倍数。现在 3^10000 显然

是 9 的倍数，所以它的各位数字之和也应该是 9 的倍数。而 21474/9 = 2386 ，可见

21474 正好就是 9 的倍数，在它的附近 ±8 的范围内，没有其他 9 的倍数了。

    所以，可以认为有 A=21474 ， A 的各位数字之和 B=18 ，B 的各位数字之和 C=9 。

这样，就得到 A+B+C = 21474+18+9 = 21501 。

（上面只能算是一个近似的估计，结果难免有一些误差。）

wangyangke

luyuanhong老师上面的方法，类似于概率方法证哥猜；方法是否靠得住？但不排除答案正确。

elim

这个题目很有趣. 还没有好办法解它. 下面是软件给出的结果:


另外, 3^10000 = (10 - 1)^5000 = ...

wangyangke

我正在纳闷，elim老师怎么没有帖子；

luyuanhong

谢谢楼上 elim 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

luyuanhong

下面是网友 YAG 看了楼上各位的解答后，

在“陆老师的《数学中国》园地”中发的一个帖子：

如果這個題目只求C, 該如何去做? 因為我事後回想起來，好像題目只有求C

我猜想，A,B 肯定不好求出來。但是，為什麼您的答案C是對的? 您說了這是個大概的估計?

但是，為什麼可以把C算對?

luyuanhong

题 3^10000 的各位数字之和是 A ，A 的各位数字之和是 B ，B 的各位数字之和是 C ，

   求 C 。

解 lg(3^10000) = 10000×lg3 = 10000×0.47712… = 4771.2… 。

   可见 3^10000 是一个 4772 位数。

   我们知道，凡是 9 的倍数，它的各位数字之和也是 9 的倍数。现在 3^10000 显然

是 9 的倍数，所以它的各位数字之和也应该是 9 的倍数。

   一个 4772 位数，而且要求各位数字之和是 9 的倍数，最大的情况，是 4772 位每一位

都是 9 ，这时各位数字之和达到最大，为 4772×9 = 42948 。最小的情况，是最高位为 1 ，

中间都是 0 ，最后一位是 8 ，这时各位数字之和达到最小，为 1+8 = 9 。

   可见，3^10000 的各位数字之和，最大是 A = 42948 ，最小是 A = 9 。

   A 的各位数字之和，也必须是 9 的倍数，而且可以看到，A 最多是 5 位数，最小是 1 位数，

所以，A 的各位数字之和，最大是 B = 5×9 = 45 ，最小是 B = 9 。

   因为 B 最大是 45 ，最小是 9 ，而且 B 必须是 9 的倍数，所以 B 只能取值 9,18,27,36,45 。

   对于 9,18,27,36,45 这 5 种 B 来说，它们的各位数字之和 C 都是 9 。

   所以，本题的答案就是 C = 9 。