[趣题征解] 3^k 金字塔斜率

ataorj

上帖中:
如图1,M(m',m) M是k内点值 (=m'/m) 最大的点
如果m=k则答案直线是MO=f,v=m'/m
如果m<k则答案直线有可能是g,这时要比较△AOM和△BCM面积大小,实际是要求比较它们空方格数量[指直线到实方格之间的空方格数量],后者大于前者时答案为g,否则f
说明:后者大于前者时说明f没能排除的空方格数量多于g的,所以答案为g

以上仍然是定性分析以获得大致思路.如果分析斜率波动范围[我还没进行分析],可能就否定了g胜出的可能.这时k内点值 (=m'/m) 最大的点M的点值就是所求斜率,当然它小于lg3
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以上k取值范围有限
k取值范围无限大时,就简单了,有无限个点值接近lg3,可以以=lg3看待,这些点与(0,0)连接以及它们之间相互连接都是同一条直线f,f已经与g重合了,没必要分析上面提到的第二个最大点值的点[注意条件k>m],这时答案斜率=lg3 [实际是无限接近lg3].

至于答案斜率=-1/lg3的说法和我的lg3 没有本质上的差别,定义不同而已.

无限个点值接近lg3,比如:
k=1000,[1000lg3]/1000=0.477
k=10000,[10000lg3]/10000=0.4771

k越大,点值越易于接近lg3,但是不是一定更能接近lg3,有波动

lg3≈0.47712125471966243729502790325512,注意0出现的位数,k=10^21和k=10^22时点值相等
...

luyucheng1

这题的实质是将3^k变成十进制数的位数问题：3^k=10^(j-1)    j=(lg3)k+1 ，j 随 k 的变化的 斜率就是 lg3 。

ataorj

k最大值不是无穷大时,所求斜率就不是固定值.

ataorj

限制k的取值范围和不限制,答案不同.限制时,k最大值不是无穷大,所求斜率就不是固定值.

luyucheng1

取用不同的k，计算的k只是近似值，计算结果自然不同，如3^1和3^2用十进制表示都是一位数，计算出的k值就不同。楼主要求是k趋于无穷大时斜率的精确值。斜率自然是lg3 。

ataorj

不是简单的'当然'问题,斜率是多少?是k取最大值时的点值吗?我主要探讨的是这个.