八求素数及其幂的分拆——请帮找出本文的错 倪则均，2015年7月29日。

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（西汉杨雄的《太玄经》上说：“夫物不因不生，不革不成。
故知因而不知革，物失其则；知革而不知因，物失其均。”）
1，种子二分拆的乘法运算规律。
种子二分拆是指将一个p=4k+1形素数，分拆成为二个数的平方和p=x^2+y^2的简称。同样的道理，种子三分拆是指将一个q=8k+3形素数，分拆成为q= 2x^2+y^2的基本形式的简称。种子四分拆是不存在的，因为一个8k+7形素数，既可以分拆成为3x^2+y^2的基本形式，也可以分拆成为2x^2+y^2+z^2的基本形式。
如果p= a^2+b^2和q= c^2+d^2是两个种子二分拆，那么按照所谓的丢番图恒等式其乘积为：pq=（a^2+b^2）（c^2+d^2）=（ac+bd）^2+（bc-ad）^2=（ac-bd）^2+（bc+ad）^2。这就是说pq=（a^2+b^2）（c^2+d^2）乘积既可以表示为：（ac+bd）^2+（bc-ad）^2二个数的平方和，也可以表示为：（ac-bd）^2+（bc+ad）^2二个数的平方和，具有两种不同的二分拆形式。例如5=1+4，13=4+9，那么5×13=1+64=49+16。
显然，如果m=p1p2…pr，是n个4k+1形素数的乘积，由于这r个4k+1形素数，全都可以作出种子二分拆，因此运用丢番图恒等式推算，m应该可以表示为2^（r-1）组，不同形式的二个数的平方和。特别需要注意的是，其中的任何一组中的数，必定全部都是互素的，我们将这种不会出现公因子的分拆，称为本原分拆。本原分拆是一个极其重要的概念，高斯正是由于对于这种本原分拆的无知，所以他的二个平方和分拆的数量公式，会出现那种让人意料不到的离奇错误。
如果p=a^2+b^2，那么对于（2^r）p来说，只有当r=1时，由于2p=2a^2+2b^2=（a^2-2ab+b^2）+（a^2+2ab+b^2）=（a-b）^2+（a+b）^2，使得2p是一个本源二分拆。例如，2×17=9+25，然而当r＞1时，（2^r）p的二个平方和分拆，全部都是非本原二分拆。当为奇数时（2^r）p=[2^（r-1）]（a-b）^2+[2^（r-1）]（a+b）^2，具有公因子[2^（r-1）]。当为偶数时（2^r）p=（2^r）（a-b）^2+（2^r）（a+b）^2，具有公因子2^r。
如果p=a^2+b^2，q是一个4k-1形素数，那么对于（q^r）p来说，，只有当r为偶数时，才有（q^r）p=（q^r）a^2+（q^r）b^2，一种形式的非本原二分拆，其公因子为q^r。然而当r为奇数时，（q^r）p是不能作二平方和分拆的。至此，我们还剩下p^r =（a^2+b^2）^r一种情况的，二个平方和分拆未作介绍了，因为这是我们下面所要着重研究的问题。
2，种子勾股数的生成算法。
种子勾股数是指当p为4k+1形素数时，由p^r所分拆出的两个数平方和，p^r=a^2+b^2如果是互素的，我们称它是一个种子勾股数。我们在“八求素数及其幂的分拆——二平方和如何分成”中，已经证明当r=1时，p=4k+1不仅可以分拆为p=a^2+b^2，而且具有唯一性，所以称其为种子二分拆。其实它们也是互素的，因此p=a^2+b^2还是一个种子勾股数。
当r=2时，如果已知p=a^2+b^2，那么其2次方展开后则为：p^2=（a^2+b^2）^2= a^4+b^4+2（a^2）（b^2）=（a^2-b^2）^2+（2ab）^2。显然，若是运用勾股公式计算，所得到的结果也是完全相同。如果p=a^2+b^2是未知的，那么我们完全可以运用得到p=a^2+b^2的方法，也就是“八求素数及其幂的分拆——二平方和如何分成”中的方法，同样可以得到p^2=（a^2-b^2）^2+（2ab）^2，当然这样的分拆也是唯一的，互素的，所以p^2=（a^2-b^2）^2+（2ab）^2，也是一个种子勾股数。
例如，由于可知5=1+4，那么我们既可以运用勾股公式得到5^2= 3^2+4^2，也可以运用丢番图恒等式的乘法运算得到5^2= 3^2+4^2，更可以运用“八求素数及其幂的分拆——二平方和如何分成”中的根本方法，来得到5^2= 3^2+4^2，当然这是最原始的比较繁琐的方法，也是一种最基本的方法。我们不妨称5=1+4为一级种子勾股数，称5^2=3^2+4^2为二级种子勾股数。
当r=3时，如果已知p=a^2+b^2，立即就有p^3=（pa）^2+（pb）^2，当然这是一个非本原的勾股数。但是我们仍然可以按照“八求素数及其幂的分拆——二平方和如何分成”中的方法，同样可以直接得到p^3=c^2+d^2，当然这样的分拆也是唯一的，互素的，所以p^3=c^2+d^2，也是一个种子勾股数。这就是说，当r=3时，p^3可以有两种二个数的平方和的分拆方法，其中只有一个是本原的，是一个种子勾股数。例如，由于可知5=1+4，那么立即可知5^3=1×25+4×25=25+100，当然这是一个非本原的勾股数。然而，如果我们按照“八求素数及其幂的分拆——二平方和如何分成”中的方法，得到5^3=2^2+11^2，这就是一个本原勾股数，可以称其是一个三级种子勾股数。
当r=4时，如果已知p^2=a^2+b^2，立即就有p^4=（pa）^2+（pb）^2，当然这是一个非本原的勾股数。其实，我们还可以按照勾股公式得到p^4=（a^2-b^2）^2+（2ab）^2，显然这是一个本原勾股数。也就是说，当r=4时，p^4也是只有两种二个数的平方和的分拆方法，其中仍是只有一个是本原的，是一个种子勾股数。例如，由于可知5^2=3^2+4^2，那么立即可知5^4=9×25+16×25，当然这是一个非本原的勾股数。然而，我们还可以按照勾股公式得到5^4=7^2+24^2，显然这是一个本原勾股数，可以称其是一个四级种子勾股数。
按照如此规律，我们应该不难知道，当r为奇数时，p^r可以分拆为（r+1）/2种二个数的平方和，但是其中只有一个是本原的，是一个r级的种子勾股数，而其它的（r-1）/2种，全部都是非本原的，但是它们都有一个低级的，奇种子勾股数夹心。当r为偶数时，p^r可以分拆为r/2种二个数的平方和，但是其中仍然只有一个是本原的，是一个r级的种子勾股数，而其它的（r-2）/2种，全部都是非本原的，它们同样都有一个低级的，偶种子勾股数夹心。
3，一个可以验证公式对错的实例。
冯克勤在他的《平方和》的第36页，给出了一个实例，其本意应该是用来证明，高斯离奇的运用复数的方法，所推导出来的将合数n，分拆为二平方和的数量公式是对的。由于4500=（2×3）^2×5^3，因此冯克勤根据高斯的数量公式给出r2（4500=4×（3+1）=16。然而，如果运用上面我所给出的算法，只能得到4500=14^2+66^2=30^2+60^2二组。即使考虑到可以运用负数，也只有r2（4500=4×（3+1）/2=8，仍然还差一半。
我总觉得碰到这种事情，我们首先要从检查自已着手展开，不能狂妄自大，不能认为错的都是别人，更何况这个别人正是号称数学王子的高斯。然而，我查来查去总查不出我上面的推导有何不妥之处，更别说是错误了。其实，自己找自已的毛病是一件比较困难的事情，请别人来挑自己的毛病，效果可能会大不一样，这大概就是俗话所说的，旁观者清当局者迷吧。所以我真心实意的请求各位网友予以帮助。
如果大家也找不出来，我的这篇文章有何严重错误，那么我们就只好去查高斯了。反正我与高斯之间，至少有一个人的公式是错的，当然我们俩人的公式，可能都是错的，但是决可能都是对的。大家应该都会明白，如果我的公式错了，只是小事一桩，不会引起任何的风浪。若是高斯错了，这可就是一件天翻地覆大事，因为这是高斯将初等问题予以高深化的尝试，。如果高斯的公式错了，那么随后的代数数论，乃至解析数论全部都是错的。
然而，要想读懂高斯的东西，也决不是一件容易之事，因为高斯是一个特别喜欢将普通问题，予以离奇化的专家。许多非常实在的问题，经过了高斯的反复抽象之后，就会将其全部的实质内容全部抽空，弄到后来，可能连得高斯自己都不知道，他到底是在研究什么了！明知山有虎，偏向虎山行。当然我更希望我国的官科，特别是我们的那些院士能站出来反戈一击，若是能得到他们的援助，事情就会好办得多，我不是在与虎谋皮吧？！