正整数 m,n 满足 √7>n/m，证明 √7>n/m+1/(mn)

ataorj

正整数 m,n 满足 √7>n/m，证明 √7>n/m+1/(mn)

'表示平方
证明:
7>n'/m'
假设√7<=n/m+1/(mn)
则(n/m+1/(mn))'=((n'+1)/(mn))'=(n'+1)'/(m'n')>=7>n'/m'
则(n'+1)'/(m'n')>n'/m'=n''/(m'n')
即(n'+1)'>n''
n'+1>n'
1>0
奇怪,问题出在哪里呢?

ataorj

n/m+1/(mn)当然>n/m,这种反证法没有意义.反证法只可用于证伪,伪没有出现就什么都不能证明,不能据此说明假设成立而说原命题错误.
不能舍弃中介7
n'+1>=7m'>n'
另外,在开始时就应该提前排除使用'=',因为√7是无理数,而n/m+1/(mn)是有理数,反证法是反证:
n'+1>7m'>n',而n'+1和n'之间不会存在第三个整数,包括7m'.这就是导出的矛盾.那么,易知:
==============
7换为2,3,5,6,8,10...所有非完全平方数,主题都是正确的了

说明:本题目改编自:
正整数 m,n 满足 √7>n/m，证明 √7≥n/m+1/mn
http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1

ataorj

上面是错误的,更正:
反证法
(n'+1)'/(m'n')>7>n'/m'
(n'+1)'>7(m'n')>n''
n''+2n'+1>7(m'n')>n''
n''+2n'>=7(m'n')>n''
n'+2>=7m'>n'
余略,别人已经提供了思路.