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在温家宝总理的推动下，首届全国民间科技发展研讨会已于是2005年12月17日在长沙召开，会议通过成立了民科促进会组织。首届民科会论文集，成果发布会，民科网站建设都在积极推进中。
首届民间科技发展研讨会首批推荐发布成果:
模根因数定理与模根剩余法判定素数
庄 严
（辽阳铁路器材厂 111000）
【摘要】在素数的研究中，总结出迭加因数的新角度。通过对模的同余式性质的引入，建立了模根数列，合数模根，素数模根，素数的模常数等数学概念，提出并证明了模的同余式的模根因数定理，在这个基础上明确了素数的模根条件，给素数定模分类并建立了数型，提出了判定素数的新方法：通式模根剩余法，在解决素数数型问题的同时，完成了任意大素数量的数学表达式，从而为与素数无穷性质有关问题的研究另辟新径。
【关键词】迭加因数、对应因数、模根、模根数列、素数模根、条件素数通式。
【引文】素数是指自然数中那些只能被1和本身整除的数。最小的素数是2，依次为3、5、7、11、13、17、19、23、29… 前人早已证明：素数有无限多个。判定、寻找素数的方法，是古希腊的数学家艾拉托斯芬（Eratosthenes） 提出的叫做过筛的方法，简称“艾氏筛法”。即在任意有限自然数N以内判定素数时，先把N一个不漏的写下来，然后由2开始留下2，划掉2的倍数得到3是素数，再由3开始留下3，划掉3的倍数得到5是素数，再由5开始留下5，划掉5的倍数得到7是素数…，这样一直进行到√N 为止，则我们能得到N以内的全部素数。艾氏筛法判定素数的过程机械，但它最大的不足之处在于：艾氏筛法无法体现素数的无限大性质，无法表示出诸多不同性质的无限大素数存在的数学条件。
关于判定求解素数的数型公式问题，费尔马（Fer mat）、欧拉 (Euler)等人曾先后提出用2^ 2 ^n +1, n^2-n+41, n^2-n+1601等公式做为素数的数型，但随着数学归纳法的兴起，上述公式皆遭否定。时至今日，素数的数型问题，仍是素数存在的问题之一。也正是因为筛法条件下的素数给不出无限的素数数型，使数学上对偶数都是两个素数之和性质的证明变成了无米之炊。所以，要想找到对哥德巴赫猜想进行直接证明的数学方法，我们必须突破至今已延用两千多年的素数筛法，建立新的素数理论。
定义1 迭加因数 对应因数 迭加起点
现有合数35=7×5，它的两个因数分别是7和5，我们有如下因数关系；
35=7×5
35+7=7×（5+1）
35+7+7=7×（5+2）
35+7+7+7=7×（5+3）
… …
在以上关系时，我们把7叫做迭加因数，5叫做对应因数，35叫迭加起点。
我们又有下面情况：
13=3+10=3+5×2
18=3+10+5=3+5×（2+1）
23=3+10+5+5=3+5×（2+2）
28=3+10+5+5+5=3+5×（2+3）
… …
这种关系时我们把5叫做迭加因数，2叫做对应因数，而把这时的3叫做迭加起点。迭加起点系指迭加关系的起始值，有时它不是合数。
一般来说，若合数g=ab，则g+a+a+… …时a为迭加因数，b为对应因数，当g+b+b+…时，b为迭加因数，a为对应因数，其中g为迭加起点值，而当存在c+g的条件表述c+g+a+a+… 关系时（c为非负整数），这只是迭加起点在特定条件下的变化。
定义2 迭加点值 剩余点值
在迭加因数与对应因数关系中，我们把迭加因数a由迭加起点开始依次迭加后得到的数值，叫做a的迭加点值，而把其它不是a的迭加点值数，叫做剩余点值（必须说明，迭加点值，剩余点值，只指整数而言）例如在 n= 0、1、2、3…时，我们用7n表示以0为迭加起点，7为迭加因数的依次迭加关系，把这时的0，7，7+7=14，7+7+7=21…都叫做7的迭加点值，而不是7n关系的数都叫做剩余点值，又如：4+7n，则指以4为迭加起点7为迭加因数的依次迭加关系，其中的4，4+7=11，4+7+7=18，4+7+7+7=25…叫做迭加点值，而不是4+7n关系的其它数，都叫做剩余点值，在全自然数列顺序时，剩余点值可看做是迭加点值的条件剩余。
定义3 因数最小积
若合数g=ab（a>1,b>1）在含有因数a的合数中，我们把含有因数a的最小合数，叫做a的因数最小积。例如：2的因数最小积是4，5的因数最小积是10，28的因数最小积是56。一般有a的因数最小积为2a，即b=2。
定理1 若g=ab，且a>1, b>1，g是a的因数最小积，在自然数中，含有因数a的全部合数，是以g为迭加起点，a为迭加因数的依次迭加点值所表达的数，a依次迭加，对应因数b依次增1，合数所含的因数都可做为迭加因数。
证：用定理关系建立等式：
g=ab
g+a=a(b+1)
g+a+a=a(b+1+1)
g+a+a+a=a(b+1+1+1)
n个 n个
g + a+a+a … + a=a(b+ 1+1+1 … +1 )
归纳后得到g+an=a（b+n）
由已知条件g=ab 得到：
g+an=a(b+n)
其中：n=0、1、2、3 …
所以得到：如g为a的因数最小积，当n=0、1、2、3 …时，g+an的值是自然数中含有因数a的全部合数。
在等式g+an=a(b+n)关系中，由于b+n也是合数g+an的一个因数，如a为最小素数，则g+an值就对应因数b+n的因数最小积，利用以上关系，取b+n为迭加因数，变a为对应因数，则我们又能够建立如下等式关系：
g+an=(b+n)a
g+an+(b+n)=(b+n)(a+1)
g+an+(b+n)+(b+n)=(b+n)(a+1+1)
g+an+(b+n)+(b+n)+(b+n)=(b+n)(a+1+1+1)
h个 h个
g + an +(b+n+(b+n))+(b+n) … +(b+n) =(b+n)(a +1+1 +1… +1 )
归纳整理后得到：
g+an+h(b+n)=(b+n)(a+h)
其中：n=0、1、2、3 …
对n的依次取值都重复取
h=0、1、2、3 …
所以得到：合数所含有的因数都可以做为迭加因数
故定理1得证
我们把定理1叫做整数因数定理。它将成为研究素数性质的有力工具。
引理1。 若p为自然数中的任意素数，则p是素数的充分条件是：
p≠4+2n+h(2+n)
n=0、1、2、3 …
对n的依次取值都重复取
h=0、1、2、3 …
证：只需证明当 n=0、1、2、3 … ， h=0、1、2、3 … 时，4+2n+h（2+n）的值是自然数中的全部合数条件。
由4=2×2得到：4是2的因数最小积，根据定理一，以4为迭加起点，以2为迭加因数，另一因数2为时应因数，依次迭加后得到4+2+2+2…=4+2n（n=0、1、2、3…）的值是自然数中含有因数2的全部合数，同时得到对应因数依次增1后是2+n，因为迭加因数2是最小素数，所以4+2n的值也是对应因数2+n的因数最小积。再由定理1，以4+2n为迭加起点，取2+n为迭加因数，变原迭加因数2为对应因数，当2+n依次迭加时，则得到4+2n+（2+n）+（2+n）+（2+n）+…=4+2n+h（2+n）关系，当取h=0、1、2、3…时，则我们得到了含有2+n为因数的全部合数，由n=0、1、2、3…的条件得到2+n的值是≥2的全体自然数。所以4+2n+h（2+n）的值是自然数中的全体合数，现p不等于自然数中的全体合数，则由素数的定义可知，P值一定是素数。
故引理1得证
引理1说明：自然数中的全体素数不能表示为一个统一的数型。
定义4 模的同余式与模根数列
以m除全体自然数时，我们按余数的不同可把自然数分为m个类型，其中的m叫做"模"。当把被m相除后余数相同的数写为一列时，则得到m的同余数列。当我们取m为模，L为余数，N=0、1、2、3…时，m的同余数列能够表示为同余式mN+L，我们把这时N的每个定值，叫做同余式每项数值的模根，把模根数依次取值后得到的项排列顺序数0、1、2、3…叫做同余式的模根数列。
显而易见， 同一个整数，由于模的不同，它的模根数的大小也会不同。例如91=30×3+1，以30为模时它的模根数是3，但91=2×45+1，所以以2为模时它的模根数则为45。 下面，我们将证明迭加因数，对应因数在同余式模根数列中如下性质：
定理2 ， 如a、b、m都是大于1的整数，且满足条件：ab=mk+L
在同余式mN+L的模根数列中，含有因数a的全部项值数的模根，是以k为迭加起点，以a为迭加因数依次迭加所得到的数，a依次迭加，对应因数b依次增模，模根对应项值数所含的因数都可做为迭加因数；首先证明（1）式
m(k+an)+L
——————— = a
b+mn
其中：n=0、1、2、3… （1）
证：由定理关系在同余式mN+L的模根数列中以K为迭加起点，取a为迭加因数依次迭加，对应因数b依次增模；
mk+L=ab
m(k+a)+L=a(b+m)
m(k+a+a)+L=a(b+m+m)
m(k+a+a+a)+L=a(b+m+m+m)
n个 n个
m(k+ a+a+a… +a )+L=a(b+ m+m+m… + m)
整理得到：m(k+an)+L=a(b+mn)
得到： mk+amn+L=ab+amn
由已知ab=mk+L条件得到（1）式成立。
在（1）式中，由于b+mn也是项值m(k+an)+L的一个因数，所以在同余式mN+L的模根数列中，我们以k+an为迭加起点，以原对应因数b+mn为迭加因数，变原迭加因数a为对应因数，我们能够继续证明（2）式成立
m(k+an+h(b+mn))+L
—————————— =a+mh
b+mn
其中：n=0、1、2、3 …
对n的依次取值都重复取
h=0、1、2、3 … （2）
证：由定理2（1）式条件，在同余式mN+L的模根数列中，以k+an为迭加起点，取b+mn为迭加因数依次迭加，变原迭加因数a为对应因数依次增模：
m(k+an)+L=(b+mn)a
m(k+an+(b+mn))+L=(b+mn)(a+m)
m(k+an+(b+mn)+(b+mn))+L=(b+mn)(a+m+m)
h个 h个
m(k+an+(b+mn)+(b+mn)(b+mn) … +(b+mn))+L=(b+mn)(a+ m+m+ m… +m)
整理得到：m(k+an+h(b+mn))+L=(b+mn)（a+mh)
得到：mk+amn+bmh+m^2nh+L=ab+bmh+amn+m^2nh
由已知ab=mk+L条件得到（2）式成立
故定理2得证
我们把定理2，叫做模根因数定理，它将能够帮助我们彻底解开素数无穷之谜。
利用定理2，我们将能够计算表示不是完全方幂值的任意大数除式的精确等于及余数关系，例如：
由（1）式可证：
（1.1690679×10^340008+37267286）÷（162739+5.1051×10^340005）的余数是55。
可证：
2314×（2297×7897^94321+772）+658 1109×（2297^47990+961）+59
———————————————————— = —————————————————
2314×7897^94321+778 1109×2297^47989+464
利用定理2，我们能够在一些同余式的模根数列中，用判定模根的办法来判定、表示素数。
定义5 合数模根 素数模根
在模的同余式mN+L的模根数列中，当N值取定后mN+L的项值是合数，则我们把这时的N值叫合数模根。例如在模30的同余式30N+1的模根数列中，由91=30×3+1=7×13是合模数，121=30×4+1=11×11也是合数，所以把这时的3和4，叫做同余式30N+1的合数模根。
在模的同余式mN+L的模根数列中，当N值取定后mN+L的值是素数，则把这时的N值叫素数模根，这时我们规定用符号ap表示素数模根。例如对同余式30N+7而言，30ap(0)+7, 30ap(1)+7, 30ap(2)+7 即表示这时模根数列中的0、1、2是素数模根，它们的项值7、37、67是素数。而当有30{ap}+7关系时则表示同余式全体素数模根的集合。
定义6 素数的模常数 类常数
若PK为任意素数，我们把由2到PK的全部素数的乘积，叫做素数的模常数，用符号（mc）pk表示，即（mc）pk=pk…p3·p2·p1，例如（mc）2=2，（mc）5=5×3×2=30，（mc）7=7×5×3×2=210
以（mc）pk为模时，我们把不大于模的简化剩余系数的个数，叫做素数的类常数，用符号（lc）pk表示，即 (lc)pk=(pk-1)…(p3-1)( p2-1)(2-1 )例如：(lc)2=2-1=1, (lc)5=(5-1)(3-1)(2-1)=8, (lc)7=(7-1)(5-1)(3-1)(2-1)=48
定义7 数型素数 模含素数
以（mc）pk为模时，我们把定模后能够由map+L关系表示的素数叫“数型素数”。把定模后不能够表示为map+L关系的素数叫“模含素数”。
模含素数等于模常数的因数分解。例如：以（mc）2=2为模时2是模含素数，而全体奇素数都叫数型素数。但以（mc）5=30为模时，2、3、5是模含素数，而除2、3、5以外的素数叫数型素数。对全体素数而言：
{全体素数}={模含素数}U{数型素数}
定义8 条件素数通式
以（mc）pk为模m时，且（m，L）=1时，我们能够得到φ（m）即（lc）pk个mN+L型同余式，当我们用给定条件在同余式模根数列中限定素数模根ap后，把得到的每个m{ap}+L关系叫做条件素数通式。每个条件素数通式都是定m 、定L的素数数型。
下面，我们将用定m 、定L的具体例子来判定、表示素数。
以（mc）2=2为模，由（lc）2=1得到，模2的简化剩余系数型只有同余式2N+1。
引理2 若ap是同余式2N+1模根数列的条件剩余数；
当： ap≠4+3n+h（3+2n）
其中：n=0、1、2、3…
对于n的依次取值都重复取
h=0、1、2、3…
则条件通式2{ap}+1是素数数型。
证：由定理2（2）式可知，4+3n+h(3+2n)的全部取值结果是含有≥3的全体奇数为迭加因数的全部合数的模根。而2{ap}+1的值互素于2，所以被条件方程限定的ap值都是素数模根，经过计算后，得到ap=0、1、2、3、5、6、8、9、11、14、15、18、20…。
故引理2得证
以（mc）3=6模，由（lc）3=2得到，模6的简化剩余系数型同余式有 6N+1，6N+5。
引理3 如ap是同余式6N+1模根数列的条件剩余数：
当 ap≠4+5n+h（5+6n）
≠8+7n+h（7+6n）
其中：n=0、1、2、3…
对n的依次取值都重复取
h=0、1、2、3…
则条件通式6{ap}+1是素数数型。
证：由定理2（2）式可知，限定条件的全部取值结果是有6N+7，6N+5全部项值为迭加因数的全部合数的模根，而6{ap}+1的值互素于2和3所以被条件方程限定的ap值都是素数模根。经过计算得到ap=1、2、3、5、6、7、10、11、12、13、16、17、18、21…
证 毕
引理4 如ap是同余式6N+5模根数列的条件剩余数；
当 ap≠5+5n+h（7+6n）
≠5+7n+h（5+6n）
其中：n=0、1、2、3…
对n的依次取值都重复取
h=0、1、2、3…
则条件通式6{ap}+5是素数数型。
（证略）
以（mc）5=30为模，由（lc）5=8得到，模30的简化剩余系数型同余式共有8个，即30N+1、30N+7、30N+11、30N+13、30N+17、30N+19、30N+23、30N+29。
引理5 如ap是同余式30N+1模根数列的条件剩余数；
当 ap≠32+31n+h（31+30n）
≠4+11n+h（11+30n）
≠12+19n+h（19+30n）
≠28+29n+h（29+30n）
≠3+7n+h（13+30n）
≠3+13n+h（7+30n）
≠13+17n+h（23+30n）
≠13+23n+h（17+30n）
其中：n=0、1、2、3…
对n的依次取值都重复取
h=0、1、2、3…
则条件通式30{ap}+1是素数数型。
证：由定理2（2）式，可知，限定条件的全部取值结果是含有以30为模的全部简化剩余系型数为迭加因数的全部合数模根，而30{ap}+1的值互素于模含素数2、3、5，所以被条件方程限定的ap是素数模根，经过计算后得到：
ap=1、2、5、6、7、8、9、11、14、18、19、20、21、22、23、25、27、33、34、35、39、40、41……
证 毕
同理可证：引理6、引理7、引理8、引理9、引理10、引理11、引理12成立。
引理6 如ap是同余式30N+7模根数列的条件剩余数；
当 ap≠7+7n+h（31+30n）
≠7+31n+h（7+30n）
≠6+17n+h（11+30n）
≠6+11n+h（17+30n）
≠8+19n+h（13+30n）
≠8+13n+h（19+30n）
≠22+29n+h（23+30n）
≠22+23n+h（29+30n）
其中：n=0、1、2、3…
对n的依次取值都重复取
h=0、1、2、3…
则条件通式30{ap}+7是素数数型。
引理7 如ap是同余式30N+11模根数列的条件剩余数；
当 ap≠11+11n+h（31+30n）
≠11+31n+h（11+30n）
≠5+23n+h（7+30n）
≠5+7n+h（23+30n）
≠7+17n+h（13+30n）
≠7+13n+h（17+30n）
≠18+19n+h（29+30n）
≠18+29n+h（19+30n）
其中：n=0、1、2、3…
对n的依次取值都重复取
h=0、1、2、3…
则条件通式30{ap}+11是素数数型。
引理8 如ap是同余式30N+13模根数列的条件剩余数；
当 ap≠13+13n+h（31+30n）
≠13+31n+h（13+30n）
≠4+7n+h（19+30n）
≠4+19n+h（7+30n）
≠8+11n+h（23+30n）
≠8+23n+h（11+30n）
≠16+17n+h（29+30n）
≠16+29n+h（17+30n）
其中：n=0、1、2、3…
对n的依次取值都重复取
h=0、1、2、3…
则条件通式30{ap}+13是素数数型。
引理9 如ap是同余式30N+17模根数列的条件剩余数；
当 ap≠17+17n+h（31+30n）
≠17+31n+h（17+30n）
≠12+29n+h（13+30n）
≠12+13n+h（29+30n）
≠14+19n+h（23+30n）
≠14+23n+h（19+30n）
≠2+11n+h（7+30n）
≠2+7n+h（11+30n）
其中：n=0、1、2、3…
对n的依次取值都重复取
h=0、1、2、3…
则条件通式30{ap}+17是素数数型。
引理10 如ap是同余式30N+19模根数列的条件剩余数；
当 ap≠19+19n+h（31+30n）
≠19+31n+h（19+30n）
≠10+11n+h（29+30n）
≠10+29n+h（11+30n）
≠1+7n+h（7+30n）
≠5+13n+h（13+30n）
≠9+17n+h（17+30n）
≠17+23n+h（23+30n）
其中：n=0、1、2、3…
对n的依次取值都重复取
h=0、1、2、3…
则条件通式30{ap}+19是素数数型。
引理11 如ap是同余式30N+23模根数列的条件剩余数；
当 ap≠23+23n+h（31+30n）
≠23+31n+h（23+30n）
≠6+29n+h（7+30n）
≠6+7n+h（29+30n）
≠10+19n+h（17+30n）
≠10+17n+h（19+30n）
≠4+13n+h（11+30n）
≠4+11n+h（13+30n）
其中：n=0、1、2、3…
对n的依次取值都重复取
h=0、1、2、3…
则条件通式30{ap}+23是素数数型。
引理12 如ap是同余式30N+29模根数列的条件剩余数；
当 ap≠29+29n+h（31+30n）
≠29+31n+h（29+30n）
≠9+23n+h（13+30n）
≠9+13n+h（23+30n）
≠3+17n+h（7+30n）
≠3+7n+h（17+30n）
≠6+11n+h（19+30n）
≠6+19n+h（11+30n）
其中：n=0、1、2、3…
对n的依次取值都重复取
h=0、1、2、3…
则条件通式30{ap}+29是素数数型。
由引理2～引理12的具体例子得到：
在（mc）2=2、（lc）2=1 时，全体素数能够表示为：
2{ap}+1
（ap为条件限定值，mod 2 ， 模含素数2）
在（mc）3=6、 （lc）3=2 时，全体素数能够表示为：
6{ap}+1 6{ap}+5
（ap为条件限定值，mod 6， 模含素数2、3）
在（mc）5=30 、 （lc）5=8 时，全体素数能够表示为：
30{ap}+1 30{ap}+7 30{ap}+11 30{ap}+13
30{ap}+17 30{ap}+19 30{ap}+23 30{ap}+29
（ap为条件限定值，mod 30， 模含素数2、3、5）
由上面的方法，在（mc）7=210、（lc）7=48 时，全体素数能够表示为：
210{ap}+1 210{ap}+11 210{ap}+13 210{ap}+17
210{ap}+19 210{ap}+23 210{ap}+29 210{ap}+31
210{ap}+37 210{ap}+41 210{ap}+43 210{ap}+47
210{ap}+59 210{ap}+59 210{ap}+61 210{ap}+67
210{ap}+71 210{ap}+73 210{ap}+79 210{ap}+83
210{ap}+89 210{ap}+97 210{ap}+101 210{ap}+103
210{ap}+107 210{ap}+109 210{ap}+113 210{ap}+121
210{ap}+127 210{ap}+131 210{ap}+137 210{ap}+139
210{ap}+143 210{ap}+149 210{ap}+151 210{ap}+157
210{ap}+163 210{ap}+167 210{ap}+169 210{ap}+173
210{ap}+179 210{ap}+181 210{ap}+187 210{ap}+191
210{ap}+193 210{ap}+197 210{ap}+199 210{ap}+209
（ap为条件限定值 ，mod 210，模含素数2、3、5、7）
还可在（mc）11=2310、（lc）11=480 时，把全体素数表示为：
2310{ap}+1 2310{ap}+13 2310{ap}+17 2310{ap}+19
… … 2310{ap}+2293 2310{ap}+2297 2310{ap}+2309
计480个条件通式
（ap为条件限定值，mod 2310，模含素数2、3、5、7、11）
还可在（mc）13=30030，（lc）13=5760 时，把全体素数表示为：
30030{ap}+1 30030{ap}+17 30030{ap}+19 30030{ap}+23
… … 30030{ap}+30011 30030{ap}+30013 30030{ap}+30029
计5760个各件通式
（ap为条件限定值，mod 30030，模含素数2、3、5、7、11、13）
还可在（mc）17=510510、（lc）17=92160 时，把全体素数表示为：
510510{ap}+1 510510{ap}+19 510510{ap}+23 510510{ap}+29
… … 510510{ap}+510487 510510{ap}+510491 510510{ap}+510509
计92160个条件通式
（ap为条件限定值，mod 510510，模含素数2、3、5、7、11、13、17）
即：以（mc）pk为模时，素数的数型有（lc）pk个。
所以，素数的数型可有无限多个。
所以，我们得到了不同于艾氏筛法的又一种素数判定方法，——通式模根剩余法，此种方法确立了数型素数的理论，在解决素数数型公式的同时实现了对任意大素数量的素示，它能数万倍地扩大人类对素数的实际视野。通过对素数通式模根性质的深入研究，将为哥德巴赫猜想等数论难题，找到新的论证途径。同时，由于通式模根因数关系的出现，为我们计算表示不是完全方幂值的任意大数除式的精确等于及余数关系，提供了新方法。
参考文献：
华罗庚数论导引第五章85页，素数分布之概况，（1980）科学出版社。
版权登记号：06—1998—A—16号
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发表于 2006-2-3 18:04
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