求(0,∞)上的实值函数 f, 满足 f(x)+f(y)≤f(x+y)/2, f(x)/x+f(y)/y≥f(x+y)/(x+y)

elim

求(0,∞)上的实值函数 f(x), 满足 f(x)+f(y)≤f(x+y)/2,  f(x)/x+f(y)/y≥  f(x+y)/(x+y)

luyuanhong

例如，可取 f(x)=-kx^2 ，其中 k 是某个正常数。

因为 x^2+y^2=(x+y)^2/2+(x-y)^2/2≥(x+y)^2/2 ，所以当 x,y∈(0,+∞) 时，有

        f(x)+f(y)=-k(x^2+y^2)≤-k(x+y)^2/2=f(x+y)/2 。

f(x)/x+f(y)/y=-kx^2/x-ky^2/y=-k(x+y)=-k(x+y)^2/(x+y)=f(x+y)/(x+y) 。

elim

谢谢陆老师. 如果假定 f 连续, 则可证 f(x) = f(1) x^2 是通解. 否则问题似乎较复杂.