仿敢峰先生的演绎法构造敢峰的终极图

雷明85639720

仿敢峰先生的演绎法构造敢峰的终极图
雷  明
(二○一九年二月二十三日)
（我在这里发不上图，请到＜中国博士网＞中去看）

    敢峰先生的终极图（H—构形）与米勒图实际上是同一个图，是含有经过构形三个围栏顶点的环形链的第一类H—构形，只是画法不同。敢峰的终极图用的是待着色顶点是显形的画法，而米勒图用的是待着色顶点是隐形的画法，两种不同的画法在表现形式上只差了一个顶点。
敢峰先生构造他的终极图时用的是二十步演绎法，也就是连续转型交换法，转型的方向是按顺时针方向进行的。其主导思想是：从H—构形的最基本模式开始，每一步演绎都是先从构形围栏的峰顶顶点右侧的一个同色顶点开始，交换与其呈对角的围栏顶点的颜色构成的色链，移去一个同色；然后，再从构形围栏的峰顶顶点开始，想一切办法在平面图的范围内，构造该顶点到其对角顶点的连通链，不能连续的移去两个同色。反复的这样做，就可得到一个极大的三角剖分终极图（H—构形）。BAB型的H—构形的最基本模式如图1。

第一步：在图1的A—D环内交换B—C链，得图2；再构造从另一B色顶点到其对角顶点的B—D连通链，得图3。
第二步：在图3的D—B环内交换C—A链，得图4；再构造从另一C色顶点到其对角顶点的C—B连通链，得图5。

第三步：在图5的B—C环内交换A—D链，得图6；再构造从另一A色顶点到其对角顶点的A—C连通链，得图7（里根据需要把一个图右边的一个D色顶点改成了A色）。
第四步：在图7的C—A环内交换D—B链，得图8；再构造从另一D色顶点到其对角顶点的D—A连通链，得图9。

第五步：在图9的A—D环内交换B—C链，得图10；再构造从另一B色顶点到其对角顶点的B—D连通链，得图11。

第六步：在图11的D—B环外交换C—A链，得图12；再构造从另一C色顶点到其对角顶点的C—B连通链，得图13。
第七步：在图13的B—C环外交换A—D链，得图14；再构造从另一A色顶点到其对角顶点的A—C连通链，得图15。

第八步：在图15的A—C环内交换D—B链，得图16；再构造从另一D色顶点到其对角顶点的D—A连通链，得图17。
第九步：在图17的A—D环内交换B—C链，得图18；图中就有一条从另一B色顶点到其对角顶点的B—D连通链，如图19。

第十步：在图19的D—B环内交换C—A链，得图20；图中就有一条从另一C色顶点到其对角顶点的C—B连通链，如图21。

第十一步：在图21的B—C环内交换A—D链，得图22；图中就有一条从另一A色顶点到其对角顶点的A—C连通链，如图23。
第十二步：在图23的C—A环内交换D—B链，得图24；图中就有一条从另一A色顶点到其对角顶点的A—C连通链，如图25。

第十三步：在图25的A—D环内交换B—C链，得图26；图中就有一条从另一B色顶点到其对角顶点的B—D连通链，如图27。
第十四步：在图27的D—B环外交换C—A链，得图28；再构造从另一B色顶点到其对角顶点的C—B连通链，如图29。至此，三角剖分终极图的顶点和边均已全部增加到位，总共十七个顶点，是一个ABA型的H—构形。若把A、B两种颜色所着的位置互换，就得到了BAB型的终极图，但图的峰点位置并没有返回到最初的原始位置。

第十五步：在图29的B—C环外交换A—D链，得图30；图中就有一条从另一A色顶点到其对角顶点的A—C连通链，如图31。

第十六步：在图31的C—A环内交换D—B链，得图32；图中就有一条从另一A色顶点到其对角顶点的A—C连通链，如图33。至此，图才转化成一个BAB型的H—构形，但峰点的位置仍没有反回到最初的原始位置。

第十七步：在图33的A—D环内交换B—C链，得图34；图中就有一条从另一B色顶点到其对角顶点的B—D连通链，如图35。

第十八步：在图35的D—B环外交换C—A链，得图36；图中就有一条从另一B色顶点到其对角顶点的C—B连通链，如图37。
第十九步：在图37的B—C环外交换A—D链，得图38；图中就有一条从另一A色顶点到其对角顶点的A—C连通链，如图39。
第二十步：在图39的C—A环外交换D—B链，得图40；图中就有一条从另一D色顶点到其对角顶点的D—A连通链（虚线所示），这时，图才真正近回到了最初的初始状态BAB型的H—构形，峰点又回到了图的正上方那个顶点，且是一个极大图（三角剖分）。把图整理好如图41。

演绎构造终极图构形结束。
终极图继续进行转型交换,永远也没有尽头,永远也空不出颜色给待着色顶点V着上。但终极图却是一个含有经过三个围栏顶点A—B环形链的第一类H—构形，交换A—B环内、外的任一条C—D链，都可以使连通且相交叉的A—C链和A—D链断开，图变成可以移去两个同色B的K—构形而可约（如图42和图43）。

对终极图任意进行一次转型交换，如从左B逆时针交换B—D，得到图44，这是一个DCD型的含有经过两个围栏顶点A—B环形链的第二类H—构形，交换A—B环内、外的任一条C—D链，都可以使连通且相交叉的C—A链和C—B链断开，成为K—构形而可约（如图45）。
终极图在连续的进行转型交换时，所得到的图总是在第一类H—构形与第二类H—构形之间交替的转化着，分别用解决第一类H—构形和第二类H—构形的办法都可以得到解决。但终极图在连续转型的过程中，始终不能转化成既不含有环形的A—B链，又不含有环形的C—D链的第三类H—构形，所以用终极图还是不能代替所有的H—构形的。
敢峰先生为什么要把他构造的图叫做“终极图”，笔者还不明白。一，它并不能代表所有的H—构形，二，它也不能用转型交换法解决问题。所谓“终极”是不是指20次转型交换已达到了极限呢？还是指经过这20次的转型，已经构造出了一个极大的三角剖分的H—构形呢。很难理解。所以笔者把该图仍叫做“敢峰—米勒图”，因为在敢峰构造该图的同时，也有英国的米勒的研究团队也构造出了同样的一个图。

雷  明
二○一九年二月二十三日于长安

注：此文已于二○一九年二月二十五日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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