求（1）可被 5 整除（2）首尾数字相同（3）各位数字之和能被 5 整除的五位数 n 的个数

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

题  求满足下列条件的五位数 n 的个数：

（1）n 可被 5 整除，（2）n 首尾数字相同，（3）n 各位数字之和能被 5 整除。

解  n  要能被 5 整除，个位数只能是 0 或 5 。

    由于 n 首尾数字相同，如果 n 的个位数是 0 ，n 的万位数也必须是 0 ，但

万位数为 0 的数就不是五位数了，所以不能是 0 ，n 的个位和万位数都必须是 5 。

    n 中间三位数可以是 0～9 ，但这三个数之和必须能被 5 整除。

    在 0～9 中，除以 5 后余数为 0,1,2,3,4 的数各有 2 个，各占 1/5 。由于

对称性，三个 0～9 的数，它们相加之和，除以 5 后余数为 0,1,2,3,4 的情况，

也应该相同，各占 1/5 。

    也就是说，三个 0～9 的数，它们相加之和，能被 5 整除的情况，是全部情况

的 1/5 。

    三个 0～9 的数，共有 10^3=1000 种不同的情况，能被 5 整除的情况占 1/5 ，

可见，中间三位数相加之和能被 5 整除的情况有 1000/5=200 种。

    由于首尾两数已固定为 5 ，所以，满足题目要求的五位数 n 的个数就是 200 。