费马大定理的非常奇妙的证明 倪则均2015年9月29日（2014年6月26日投火花被压至今）

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1，费马大定理的来龙去脉。
大约在1637年，费马得到了一本由巴歇所翻译的丢番图的《算术》。费马去世之后，人们发现他在这本书的空白之处，随笔写下了许多的眉批旁注。他在此书的第二卷第八命题：“将一个平方数分为两个平方数之和”的旁边写道：“另一方面，不可能有一个数的立方表成另外两个立方数之和，一个数的四次方表成另外两个四次方数之和。一般来说，不可能有一个更高的方幂表成另外两个相应的方幂之和。我对此命题给了一个真正的非常奇妙的证明，只是此处的空白太小了写不下。”
这就是著名费马大定理的来历，这个猜想可以表述为，当n＞2时，方程x^n+y^n =z^n 没有正整数解。然而，人们在费马的遗物里，只找到了他关于n=4时的证明，运用的是他首创的无穷递降法。至于那个真正的非常奇妙的证明，大家一直未能找到，于是有人怀疑费马是否真的完整的证明了他的这个猜想？一个真正的非常奇妙的证明到底是否存在？其实，费马在他的这个旁注里已经清楚地说明了，对于上述三元高次不定方程来说，n=2与n＞2只是一个问题的两个方面，它们应该一并予以一起解决。
然而，西方的数学家们，却将n=2与n＞2拆分了开来，分别予以研究。欧拉大约在1751年试图证明：素数p是二平方和的充分必要条件为p=2或p≡1（mod4）。然而，对于他的错误的证明，却被高斯硬说成是对的，从而使得他后来所给出的，二平方和的表法数量公式也是错的。欧拉于1753年试图证明当n=3时的情况，但是随即就被发现这个证明也是错的。高斯的好友奥伯斯，曾建议高斯也去竞争费马大定理的有奖征解，高斯的回答是：“对我来说几乎没有什么兴趣，因为我可以很容易地写下许多这样的命题，人们既不能证明它们，又不能否定它们。”然而，当女数学家热尔曼向他请教费马大定理问题时，他却表现出了极为少见的满腔热情。
1995年怀尔斯对于费马大定理的证明终于在《数学年刊》发表了，似乎意味着这个问题已被彻底解决。怀尔斯所运用的方法是所谓的椭圆曲线，整个证明过程极其冗长繁杂，十分晦涩难懂，仅其摘要已经长达二百多页，全文竟然有上千页之多，据说当今能完全弄懂证明细节的数学家，不会超过六人。怀尔斯的论文是经菲尔兹得主，德国的法尔廷斯所审定确认，然而另一位菲尔兹得主，意大利的邦别里却对媒体公开承认，他只读懂了其中的部分。难怪有人要挖苦说：这是正在消逝的文化的最后挣扎。
2，真正非常奇妙的证明
既然费马对于丢番图的《算术》作过了深入的研究，他就不会不知道两个平方数和的积，可以得到两组不同的二个数的平方和，即有（a^2+b^2）（c^2+d^2）=（ac+bd）^2+（bc-ad）^2，或（a^2+b^2）（c^2+d^2）=（ac-bd）^2+（bc+ad）^2。反过来也是一样的，如果有一个数可以表示为两组不同的二个数的平方和，那么这个数就必定是一个合数，它的两个因子数全都可以表示为二个数的平方和。
上述这种平方和之间的恒等关系，实际上是反映了合数环Hm里的一个极其重要的规律。当合数m=jk，（j，k）=1时，那么这个合数环Hm的特性，就是Hj和Hk两个分环性质的综合。Hm合数环里的jk个元素，与由Hj和Hk两个分环所组成的jk个同余式组之间，构成一一等同的关系。当然，对于Hj和Hk两个分环来说，我们总可以令其中的一个为Hp素数域，或Hpr素数幂环的。由此可知，只要合数m=jk，可以表示为两个数的平方和，那么它的所有的素因子全都可以表示为两个数的平方和。
例如当m=2^u+1（u为偶数）时，只有当u=2，2^2，2^3，2^4时的四个素数，此时的2^u+1是它们的唯一的二平方和形式。然而，当u为其它偶数时，m=2^u+1（u为偶数）为合数，此时它们的素因子，全部都是4k+1形素数，全都可以唯一的表示为二个数的平方和，我在“探讨表素数为两平方和问题”一文里，给出了得到这两个平方数的具体方法。我在“表一素数幂为二平方和探究”一文里，不仅纠正了高斯表法数量公式的错误，同时也明确指出，由此即可得到证明费马大定理的妙法。
其实，对于上述恒等关系来说，只有当n=2时才能成立，而当n＞2时则有（a^n+b^n ）（c^n+d^n ）≠（ac+bd）^n+（bc-ad）^n，及（a^n+b^n ）（c^nn+d^n ）≠（ac-bd）^n+（bc+ad）^n。这就是说，两个n次幂和的积，不可能得到两组不同的二个数的n次幂和。反过来也是一样的，如果一个数不能表示为两组不同的二个数的n次幂和，那么它的所有的素因子全都不能表示为二个数的n次幂和。这也就是说，我们对于费马大定理x^n +y^n=z^n，n＞2的证明，完全可以简化到z为素数时的情况。当然，对此我们仍然可以运用合数环及其分环的概念予以解释。
3，陈景润的卓越贡献。
鸦片战争之后，西方数学长驱直入，我国的数学家完全失去了与之抗衡的勇气和意志，他们完全拜倒在西方数学的膝下，只会跟在人家后面鹦鹉学舌，好象月亮也是西方的圆。这种祟洋惧外的心态，至今仍未得到彻底扭转，在我国老一辈的数学家里面，勇于向西方数学提出挑战的人不多，敢于说“不”的人更少。其实，华罗庚也不是完全自学成才的数学家，因为他毕竟还是在清华大学边工作边学习了几年，他对于数学的研究，也完全是唯西方数学马首是瞻。
笔者认为陈景润的卓越贡献，不是由于他证明了“1+2”，也不是由于他喊出了：“打倒维诺格拉朵夫”，而是因为他敏锐地发现了，欧拉对于表素数为二平方和证明的错误。尽管数学王子高斯力挺欧拉的证明是对的，但是陈景润还是努力的找到了他自己的证明方法，这个方法也是证明费马大定理的又一个非常奇妙的方法，这个方法不妨称之为“构造重复剩余类”。陈景润在他的《初等数论（Ⅲ）》的第十四章第一节“素数表为平方和”里，通过下面的引理2，具体的给出了这个方法。
引理2：设p为一个素数，m为整数，m⊥p，证明必定存在整数x，y使
mx≡y（mod p），1≤x＜√p，1≤y＜√p。
证明：考虑当t，u分别取遍0，1，…，√p这√p+1个整数时，mt+u所形成的集合。由于t与u各取[√p]+1个值，因此相应就得到mt+u的（[√p]+1）2个值，注意到（[√p]+1）^2＞（√p）^2=p。但模p的完全剩余系中恰只有p个不同的类，由抽屉原则，必至少有两组数t1，u1及t2，u2使mt1+u1与mt2+u2在模p的同一个剩余类中，即mt1+u1≡mt2+u2（modp）。由于t1，u1与t2，u2是两对不同的数，故不可能同时有t1=t2，u1=u2成立。
（1）若t1=t2，就有u1≡u2（mod p），不妨设u1≥u2，于是有0≤u1-u2≤[√p]＜p，于是上式仅当时才能成立，但这是不可能的。
（2）若u1=u2，就有m（t1-t2）≡0（mod p），再由m⊥p就有t1-t2≡0（mod p），由与上面同样的理由，我们推出有t1=t2，但这是不可能的。
由上面所证，我们知道必有t1≠t2，u1≠u2，不妨设t1＞t2记t1-t2=x，u2-u1=y，则有
1≤x≤│√p│＜√p，1≤y≤│√p│＜√p，且mx≡y（mod p）。
由于只有在p=4k+1形素数里，才能有m^2≡-1（mod p），由此证明只有p=4k+1形素数，才能唯一的表为二个数的平方和。然而，当n＞2时，我们或许可以找到数m，使得m^n≡-1（mod p^n），但是，我们却无法构造出下面这个重复剩余类：mx≡y（mod p^n），1≤x＜p，1≤y＜p。于是证明当n＞2时，对于所有的奇素数p来说，方程x^n +y^n=p^n都是无解的。

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用方程证明费马大定理，证明得不到整数，只能猜想费马大定理成立。

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你是说陈景运证明了费马大定理吗？

波斯猫猫

倪则均牛，可惜已去世几年了。