[分享]函数方程？

elimqiu

f 是 R 上的实连续函数， 恒有 f(x)·f(f(x)) = 1
设 f(1000) = 999, 求 f(500)

luyuanhong

下面引用由elimqiu在 2010/08/26 02:49pm 发表的内容：
f 是 R 上的实连续函数， 恒有 f(x)·f(f(x)) = 1
设 f(1000) = 999, 求 f(500)

题目有没有写错？是否应该为“ f(x)－f(f(x)) = 1”？

elimqiu

没有错。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/08/27 02:55pm 第 2 次编辑]

题  设 f 是 R 上的实连续函数，恒有 f(x)·f(f(x))＝1 。

已知 f(1000)＝999 , 求 f(500) 。

解  用 x＝1000 代入 f(x)·f(f(x))＝1 ，得
1＝(1000)·f(f(1000))＝999·f(999) ,
即有  f(999)＝1/999 。
因为 f 是连续函数， f(999)＝1/999＜500＜999＝f(1000) ，
由介值定理可知，必有 999＜ξ＜1000 ,使得 f(ξ)＝500 。
用 x＝ξ 代入 f(x)·f(f(x))＝1 ，得
1＝f(ξ)·f(f(ξ))＝500·f(500) ,
可见有  f(500)＝1/500 。

elimqiu

解得好。这样的函数可能吗？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/08/27 04:14pm 第 1 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2010/08/27 08:12am 发表的内容：
解得好。这样的函数可能吗？

这样的函数是可以存在的，例如，可以将 f(x) 定义如下：

f(x)＝1/x  （当 1/999≤x≤999 ）
f(x)＝(x-999)(999-1/999)+1/999  （当 999≤x≤1000 ）
f(x)＝999 （当 x≤1/999 或 x≥1000 ）

这个函数处处连续，函数的值域 f(x)∈[1/999 ，999] ，
所以总是能满足 f(x)·f(f(x))＝1 。

elimqiu

谢谢陆老师。这样一来理解就完整了很多。我们看到这样的函数是很多的。

wangyangkee

elimqiu不是笨蛋，不愚蠢，不驴打滚，不狗屎堆逻辑，elimqiu不是白痴，elimqiu不是饭桶，不是网痞，不是下三滥，