求教，关于“属于”，关于罗素悖论

sheao11

看有把罗素悖论描述成{x是集合|x不∈x}。
这个想请问：不是在任何情况下都不会x∈x吗？
还有就是，如果说X∈X，是不是就是X是在自指，比如X：={X，...}之类？
再比如，B∈A，这里的意思不是B包含于A吧，而是A：={B，...}这样吧？（作为集合的B是集合A的元素，而不是子集）
有人说，在公理集合论下，将{x∈A|x不∈x}这个集合记作 B，在B∈A并且B不∈B的情况下会出现有问题。根据B的定义，B就应该属于B。——这个怎么理解？能否举下例子？
谢谢！

sheao11

没有人愿意解惑么？

门外汉

想要彻底弄懂罗素悖论，首先要彻底弄懂什么是x∈x类型的集合；
所谓的x∈x类型的集合是指：在x的所有元素中，有一个元素是x。
例如：X＝{1，2，3，4，5}，这个集合的所有元素中没有X，所以它是x不∈x类型的集合
而这个：X＝{1，2，3，4，5，x}，x是x之中的一个元素，所以它是x∈x类型的集合。
x∈x类型的集合本身就是存在逻辑矛盾的，举例来说：在一个房间里有5个苹果和5条袋子，如果说：“将所有的苹果全都装进同一个袋子里”，这句话是没有任何矛盾的，而如果说：“将所有的袋子全都装进同一个袋子里”，这句话就明显有矛盾，因为假设是将所有的袋子全都装进袋子1中，因为袋子1本身也是一条袋子，所以袋子1也要将它自己装进袋子1中，否则，袋子1只能装下四条袋子，不是“将所有的袋子”全都装下。
x∈x类型的集合，就如同是一条袋子自己将自己装下，所以这种集合本身就存在逻辑矛盾。

sheao11

门外汉 发表于 2015-10-9 09:30
想要彻底弄懂罗素悖论，首先要彻底弄懂什么是x∈x类型的集合；
所谓的x∈x类型的集合是指：在x的所有元素 ...

感谢您的回复！
那么，按您说的，{x∈A|x不∈x}就是剔除A中所有自指的元素：
B：={x∈A|x不∈x}
A={1，2，3，4，5，A}
那么
B={1，2，3，4，5}
——这样？

ps有人说公理化了的集合还是出现问题，他给出了就是上面提到的集合：
B：={x∈A|x不∈x}
他说，这个集合在B∈A且B不∈B就会出现问题：根据B的定义，B就应该属于B。
——我觉得没问题啊，B不∈B，说明B中没有自指的，与，x不∈x，不矛盾啊；只是这个B∈A，我说不清楚。
所以我想向您请教下，怎么就“根据B的定义，B就应该属于B”了？这个问题该怎么理解啊？谢谢啦

门外汉

sheao11 发表于 2015-10-9 04:35
感谢您的回复！
那么，按您说的，{x∈A|x不∈x}就是剔除A中所有自指的元素：
B：={x∈A|x不∈x}

这个矛盾的推论过程与罗素悖论的推论过程基本上是一样的，推论过程如下：
A＝{x}，假设A中即包含x∈x的元素，也包含x不∈x的元素；
B∈A，即表示B是A中的一个元素x；
B={x∈A|x不∈x}，表示B中的所有元素都是A中的元素x,且有x不∈x；
由于B本身也是A中的一个元素x，所以，如果有B∈B，那么根据定义，B不能是B中的元素，即B不∈B，反之，如果B不∈B，那么根据定义，B是B中的一个元素，即B∈B。
我不知道这个问题具体是怎么论证的，我猜想可能是攻击ZF系统中的子集公理，但我认为这个问题并不能对子集公理构成威胁，因为根据子集公理，B应该由A中的已知元素分离构造而成，而B并不是A中的已知元素。

sheao11

门外汉 发表于 2015-10-10 08:17
这个矛盾的推论过程与罗素悖论的推论过程基本上是一样的，推论过程如下：
A＝{x}，假设A中即包含x∈x的 ...

“反之，如果B不∈B，那么根据定义，B是B中的一个元素，即B∈B。”
——这个可不可以这么理解：因为B={x∈A|x不∈x}，由于x不∈x，所以B不∈B；“而B并不是A中的已知元素”（这个怎么证明？），所以B不∈A。

sheao11

提上来，让所有的人都看到

门外汉

sheao11 发表于 2015-10-11 13:04
“反之，如果B不∈B，那么根据定义，B是B中的一个元素，即B∈B。”
——这个可不可以这么理解：因为B={x ...

给你举一个例子：A＝{1，2，3，4，5，A}，根据这个集合构造出一个集合B，使得B＝{x|x∈A|x不∈x},这个集合就是B＝{1，2，3，4，5}，这个集合B不会是A的元素，也就是不存在B∈A这种情况。