关于高等数学定义区间的疑问

mathemagic

函数f(x)在[a,b]上连续，(a,b)上可导。
1.题目中的这个条件要给读者传达什么信息？
2.当a的右导数、b的左导数存在时，f(x)在[a,b]上可导，那一般为什么不说：函数f(x)在[a,b]上连续可导？

elim

（1）传达的信息就是 “函数f(x)在[a,b]上连续，(a,b)上可导。” 不多不少。
（2）即使 f 在 [a,b] 上可导，也未必连续： f(0):=0,  f(x) := x^2sin(1/x) (x≠0)

mathemagic

elim 发表于 2015-10-21 23:27
（1）传达的信息就是 “函数f(x)在[a,b]上连续，(a,b)上可导。” 不多不少。
（2）即使 f 在 [a,b] 上可导 ...

1.函数在某点可导，必在该点连续。高等数学里面直接有证明。你提出的函数在x=0处，极限为0，f(0)=0,当然该函数在0点连续。
2.既然可导必定连续，为什么不直接说f(x)在[a,b]上可导，而一般用“函数f(x)在[a,b]上连续，(a,b)上可导。”
3.为什么不说“函数f(x)在[a,b]上连续，[a,b]上可导。”

elim

存在函数在[a,b]连续，在 (a,b) 的每点可导，但在 a 或 b 不可导。

如果函数在 [a,b] 可导， 就不必说 它在 [a,b] 连续了。前者蕴含后者。但是 函数在闭区间上连续推不出它在该区间可导。例子已经给你了。

elim

【f 在 [a,b] 连续， 在 (a,b) 可导】是典型的中值定理的条件。也是让中值定理成立的最宽松的条件。

当函数在 [a,b] 上可导时 它显然也使中值定理成立。但是这么叙述中值定理就让它的适用范围变小了。

luyucheng1

      这个问题以前已经讨论过了，楼主十分纠缠这个问题，是没有理解针对具体问题给出条件的充分必要性。
      在中值定理中，“在(a,b)上连续，在[a,b]内可导，.........成立”(........表示(a,b)区间中值定理，下同)，当然也可以说：“在[a,b]内可导，.........成立”，扩大一点，若[a,b]属于[c,d]，还可以说“在c,d]内可导，.........成立”。后2中说法中的条件是充分的，但不是必要的，中值定理是指满足两端点连续就行了，没有必要一定要求两端点处也可导。数学定理都是十分严谨的，定理中若不强调，所给的条件都是充分必要条件。

mathemagic

luyucheng1 发表于 2015-10-22 07:56
这个问题以前已经讨论过了，楼主十分纠缠这个问题，是没有理解针对具体问题给出条件的充分必要性。
...

有没有某个函数在[a,b]上连续，(a,b)上可导，但在a点不存在右导数，或者在b点不存在左导数？

elim

h(x)=(x-a)(x-b), f(x) = h(x) sin (1/h(x)) (a<x<b), f(a)=f(b)=0.

luyucheng1

                                                               
      除8楼elim先生给出的形式外，还分段函数，一类周期函数(例如y=abs(sinx))等等

mathemagic

elim 发表于 2015-10-22 22:17
h(x)=(x-a)(x-b), f(x) = h(x) sin (1/h(x)) (a

谢谢！