何谓平面图的不可免构形集

雷明85639720

何谓平面图的不可免构形集
——兼对5—轮构形可约性的证明
雷  明
（二○一五年十月二十二日）

1、一些文献中的论述：
所谓平面图的不可免构形，就是在任何平面图中都不可避免的会存在的构形。不可免构形集则是由这些构形所构成的集合。
11223344所介绍的文献中有徐俊明编著的《图论及其应用》（第二版），该书中关于四色问题一节《6.4 四色猜想*》中说：图中“若每个有界面的度都为3的平图称为构形。”他画了四个分别是2—轮，3—轮，4—轮和5—轮的图，并分别命名为0，P，Q和R。然后继续说：“设F是由有限个构形构成的集，若任何三角剖分图至少含F中的一个构形，则称F是不可免完备集。由于任何简单平图的最小度不超过5，所以F＝｛O，P，Q，R｝是一个不可免完备集。”
接着又说：“若四色猜想不成立，则由（6，6）式必存在一些5色平图，其中阶数最小的称为最小图。即G是最小图，则χ（G）＝5，但对任何阶数小于v（G）的平图H均有χ（H）≤4，Kempe企图通过“证明”最小图不存在来证明四色猜想。”
2、证明中遇到困难时，不能绕着矛盾走：
作者在叙述了Kempe的证明后说：“设F是一个构形，若它不含在任何一个最小图中，则称F为可约的。Kempe实际上证明了构形O、P、Q是可约的，但他没有证明R也是可约的。然而，他的这种思想提示人们：欲证四色猜想，只需寻找一个由可约构形组成的不可免完备集。既然人们不能证明R是可约的，那么是否还有另外的不可免完备集呢？1904年，P•Wernicke找出了一个新的不可免完备集，如图6.14所示。1913年，G•D•Birkhoff找出不可免完备集，如图6.15所示。但遗憾的是，他们都不可能证明这两个不可完备集中最后两个构形是可约的。于是人们转向寻找新的可约构形，1913年，Birkhoff首先发现了一个新的可约构形，如图6.16所示。”
这不是绕着矛盾走嘛。既然{0，P，W，R}是不可免完备集（即由所有不可避免的构形所构成的集合），那么除了0，P，W，R之外，就不可能再有别的不可避免的构形了，哪里还能有“另外的不可免完备集”呢？又从何处去找呢？既然找到了两个“另外的不可免完备集”，而且这两个集中“最后的两个”用以代替R的构形，又不能证明是可约的。这不还与{0，P，W，R}中不能证明R是可约的是相同的结论吗？还不死心，还要绕圈子，又进一步变成了“寻找新的可约构形”，可约的构形能找完吗，不可能。即就是Birkhoff发现了新的可约构形，又有什么用呢。如果你企图是为了否定四色猜测，那么说寻找“不可约的构形”还可以理解，因为只要能找到一个就可以否定猜测是正确的了。事实上以后的阿贝尔等人通过所谓的“放电理论”找了那么多的所谓的“可约的构形”，却也没有得到这些构形构成的就是一个完备的不可免集，这怎么能叫证明了四色猜测是正确的呢？
证明一定要得到这样的结论：不可免完备集中的构形都是可约的；或者由一些可约的构形构成的集合是完备的。只有得到这样的结论，才能得出结论说：四色猜测是正确的。
3、R构形（5—轮构形）可约性证明：
{0，P，W，R}是平面图的不可免完备集，这是千真万确的，是可以证明的。因为平面三角剖分图中一定含有一个顶点的度是小于等于5的，而构形0，P，W，R中待着色顶点的度正好也都不大于5。
关于R构形（即5—轮构形）的可约性问题，也不是不可以证明的。这种构形，围栏顶点已占用完四种颜色的情况，一定有一种颜色是用了两次的。若这个用了两次的颜色是B，两个B间所夹的颜色是A，另外两种颜色分别是C和D。坎泊已经证明了A—C和A—D链不相交的情况下，该构形是可约的，只是没有证明A—C和A—D链在相交叉的情况下是否可约的问题。现在证明如下：
A—C和A—D链既均连通，又相交叉，不可能交换A—C或A—D链，而交换了两条关于B的链B—C和B—D，又不能同时移去两个B，不能空出颜色给待着色顶点V着上。但我们可以考虑使连通的A—C和A—D链之一断开，当我们从两连通链的交叉顶点（着A色）交换A—B链时，两条连通的链A—C和A—D均被断开，这时我们就可从该5—轮构形的轮沿顶点上施行一次坎泊的颜色交换技术，即可空出一种颜色给待着色顶点V着上。这就证明了R构形是可约的。
阿贝尔找了那么多的构形，虽然说能“证明”都是“可约的”，但却没有证明由这些构形构成的集合是完备的，这肯定不能说四色猜测就被证明是正确的了。难怪徐俊明发出感慨说：“想要……检查1400（或633）个构形是可约的并非易事。所以计算机证明不易被人们所接受，甚至还有人怀疑其正确性。因此寻找四色猜想的非机器证明仍然是必要的。”现在网上不少的爱好者在对猜测进行研究，不就是正在实践着这一“必要”的途径吗？可为什么只要爱好者一发言，立即就会遭到一些自称是专家的人反对呢？真是想不通。


雷  明
二○一五年十月二十二日于长安

注：此文已于二○一五年十月二十二日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

，，，，，，，，，