求助几何证明

ccmmjj

题目很简短，但是想了两天还没头绪，所以求助了。

elim

用解析几何做了，但纯几何证法还没有。

ataorj

证明PA/AO=PB/BC

如图 BC,AO交D OC,AP交E 先证明EB/BO=PB/BD
PADB共圆,→∠BDO=∠BPE,而∠DBO=∠PBE,则EB/BO=PB/BD
(PE+EA)/PB=(PE+EB)/PB=(DO+OB)/BD,则题目是要证明OB/BC=(DO+OB)/BD
即OB/BC=(DO+OB)/(BC+CD)
化简即DO/OB=CD/BC,而OC是角平分线,证毕
另外出个题,证明X为圆心[思路D为直径,证明圆心在角平分线上即可]

ccmmjj

elim 发表于 2015-11-25 20:34
用解析几何做了，但纯几何证法还没有。

三角证明我想过，是一定可以做出来的。elim兄的证明准确无误，简炼明快，但却不是我想要的初中生可以懂的方法。３#的证明，我觉得未见准确，兄看一下。

ccmmjj

楼上的证明怕有个步骤要解释一下。就是“PADB共圆,→∠BDO=∠BPE,而∠DBO=∠PBE,”这里的“而∠DBO=∠PBE”，这不是题设条件，似乎也不是显然的。应该需要推证。不过还是要谢谢ataorj的思考，提供了一个好的想法。
elim的证明准确洗炼，却不太通俗，还是希望看到纯几何的证明。

elim

以下大致是 ataorj 的解：

ataorj

OC是角平分线→DO/OB=CD/BC [证明可参考附图1]
DO/OB+1=CD/BC+1
(DO+OB)/OB=(BC+CD)/BC
即OB/BC=(DO+OB)/(BC+CD)=(DO+OB)/BD
而PA/PB=(PE+EA)/PB=(PE+EB)/PB=(DO+OB)/BD
则OB/BC=PA/PB,证毕

ccmmjj

我明白∠DBO=∠PBE的证明了。那是因为ＯＥ是角平分线，ＯＡ＝ＯＢ，所以Ａ、Ｂ关于ＯＥ对称，所以 ∠ＥＢＯ＝∠ＥＡＯ＝９０度，又由∠ＰＢＣ＝９０度，所以得到∠DBO=∠PBE。接下来四点共圆相似的比例转换，一气呵成，非常精彩。
我的智力大概退化了，许多简单的东西都看不出来了。

elim

ccmmjj 兄言重了。个把题目看不出智力的。对有广泛数学兴趣的人，没有智力衰退这一说。不过身体健康真的很重要，注意适量运动，饮食返璞归真就好。

denglongshan

证明：假设向量PA/向量OA=ni，n是实数，i 是虚单位，则p=nai+a，又设圆心在原点，这个圆是单位圆，实轴与AOB角平分线重合，有b=1/a,在直线PC上取一点C0使得△OAP与△PBC0逆相似，则向量PB/向量C0B=i/n,即
    (c0-b)/c0-b)=i/n
     容易求得
    c0=(a+1/a)+[ai/n-i/(na)]
  显然c0是一个实数，C0在实轴上，由于两条直线交点唯一，说明C0与C重合，命题得证。上面的计算结果似乎有某种几何意义。
   如果采用直接构图，手工计算困难得多。