从欧拉公式到四色猜测（定理）

雷明85639720

从欧拉公式到四色猜测（定理）
雷  明
（二○一五年十一月二十七日）

【摘  要】从欧拉公式直接推导出了四色猜测是正确的。
【关键词】四色猜测  欧拉公式  平面图  地图  多阶曲面  亏格

1、平面图的四色猜测：
在任意图中把不相邻的顶点通过“收缩”而凝结在一起，最后都可得到一个顶点数最少的完全图Kn，其顶点数n就是原图的色数γ。设平面图“收缩”后的完全图是KV，其顶点数v就是平面图的色数γ平。因为对于任意的图均有3f≤2e，把f≤2e/3代入平面图欧拉公式v＋f＝e＋2中得e≤3v－6（这就是平面图中边与顶点的关系），再把完全图的边与顶点的关系e＝v（v－1）/2代入其中得v2－7v＋12≤0，解这个一元二次不等式得，v1≤4和v2≤3，因为v2≤3包含于v1≤4中，所以该不等式实际上只有一个根v1≤4。即任何平面图“收缩”到最后都是一个顶点数小于等于4的完全图。又因完全图的色数就等于其顶点数，有γ平＝v，所以也有γ平≤4 的结论。这就是四色猜测。平面图的四色猜测是正确的。
若把f≤2e/3代入多阶曲面上图的欧拉公式v＋f－e＝2－2n（式中n是多阶曲面的亏格（n≥0））中得e≤3v＋6（n－1）（这也就是亏格为n的图中边与顶点的关系，若n＝0时，该式就成了e≤3v－6，这就是上面的平面图中边与顶点的关系），再把e＝v（v－1）/2代入其中得v2－7v＋12（1－n）≤0，解不等式得正根是v≤（7＋√（1＋48n））/2，由于顶点数必须是整数，所以上式还得向下取整，得v≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞（式中用＜ ＞表示其中的数字向下取整）。因为完全图的γ完＝v，所以又有γ曲≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞。这就是赫渥特的多阶曲面上的地图着色公式。当n＝0时，上式的计算结果是γ平≤4，这也就是四色猜测。同样得到平面图的四色猜测是正确的。
2、地图的四色猜测：
    若一地图是γ色的，那么就一定存在着一个最小的γ色地图，这个地图中任意两个区域都是相邻的，或者说任何一个区域都与其他的γ－1个区域相邻（有共同的边界）。设平面地图中两两均相邻的区域数是f，这样的地图着色时，一定要用与其区域数相同的颜色数，即有γ地＝f的关系。
因为地图是一个3—正则图，即每一个顶点都连接着3条边（即所谓的“三界点”），所以该地图的总边数也可以写成e＝3v/2；由于我们所假设的有f个区域的、且两两区域均相邻的最小地图中每个区域都与别的f－1个区域相邻，即每一个区域都有f－1条边界线，f个区域总共有f（f－1）条边界线。因为每条边界线都是两个区域所共有的，而在这f（f－1）条边界线中每条边界线都重复的计算了两次，则这个地图中的“边界线”的总条数即图的边数应是e＝f（f－1）/2。从而有3v＝2e＝f（f－1）的关系。
用区域数（即面数）f来表示顶点数v和边数e，则有v＝f（f－1）/3和e＝f（f－1）/2。把它们同时代入欧拉公式得到f2－7f＋12＝0，解此方程得f＝4和f＝3（的确，在含有“三界点”的地图中，区域数是大于等于3的）。f≤4，就说明了平面上的地图中是不会含有五个区域两两相邻的情况的，即平面上不存在最小五色地图。这就证明了地图四色猜测是正确的。
若把v＝f（f－1）/3和e＝f（f－1）/2同时代入多阶曲面上图的欧拉公式则得到f2－7f＋12（1－n）＝0，解方程得正根是f＝（7＋√（1＋48n））/2。因为区域数也必须是整数，所以上式还得向下取整，得f＝＜（7＋√（1＋48n））/2＞（同样的，式中用＜ ＞表示其中的数字向下取整）。又因为γ地＝f，所以又有γ地＝f＝＜（7＋√（1＋48n））/2＞。这就是赫渥特的地图着色公式的“等式部分”。
这个区域数f只是在某一亏格为n的曲面上，两两均相邻的区域数中的最大者。该曲面上还会存在比f少的区域两两相邻的情况，所以上式还可以再增加上“不等式部分”，即γ地＝f≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞，这就是赫渥特地图着色公式的全貌了，其中既有等式又有不等式。
上式中当曲面的亏格为n＝0时，其色数γ地＝f≤4，这就是平面地图中两两均相邻的区划数，是不大于4的，这也就说明了平面地图中是不存在5个区域两两均相邻的现象。这也就证明了地图四色猜测是正确的。
3、四色猜测是正确的：
四色猜测从对地图上的面的染色而提出，进而发展成对平面图的顶点着色的四色猜测，在数学中统一叫做四色问题。四色猜测是可以直接从欧拉公式推导而来，四色猜测是正确的。


雷  明
二○一五年十一月二十七日于长安

注：此文已于二○一五年十一月二十七日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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