对陆教授"无穷大图像"的一点疑问

顽石

下面引用由luyuanhong在 2010/09/25 11:35am 发表的内容： 我说的是：在超实数域的图像显示中，圆弧的“真正的绝对的端点”并不与任何数对应。
一个点“不与任何数对应”，并不意味着这个点不是一个点，不存在什么“第三种点”的问题。
在我给出的超实数域 ...

陆教授还没有回答我的问题。 你只是说了另外的一个图的问题，这个图为一个圆，除了一个点不是实数以外，这个圆的其它点包括了所有的实数点。我从其它的书中看到，这个点既是正无穷大，又是负无穷大，无穷大当然不是实数，但是一个点代表截然相反的两个超实数点，不但非常勉强，甚至非常荒唐！也没有说清楚实数与无穷大是怎么衔接的！ 荒唐，就是在无法自圆其说的时候产生的！！！

门外汉

下面引用由luyuanhong在 2010/09/25 05:22pm 发表的内容：
你说得很对！超实数轴上的点比实数轴上的点多。不但多，而且要多得多。
在每一个实数点的左右两侧，都有无穷多个“非实数”点与它紧密地“挤在一起”。

所谓的实数轴和超实数轴,其实所描述的是同个东西,说白了就是直线.
我所问的问题,其实就是直线上究竟有多少点?
对于标准分析和非标准分析两套数学系统来说,这个问题的答案是截然不同的.
也就是说:从非标准分析的观点来看,一条直线上的点比标准分析中的直线上的点要多得多.
请教陆教授,是这样理解的吗?

luyuanhong

下面引用由门外汉在 2010/09/25 07:07pm 发表的内容：
所谓的实数轴和超实数轴,其实所描述的是同个东西,说白了就是直线.
我所问的问题,其实就是直线上究竟有多少点?
对于标准分析和非标准分析两套数学系统来说,这个问题的答案是截然不同的.
也就是说:从非标准分析的　...

你这样理解，也有道理，就是：我们不说“实数轴”和“超实数轴”，只说一条直线。
用标准分析的观点看，一条直线上的点，只有与实数对应的点，除此以外，没有其他点了。
用非标准分析的观点看，这条直线上面不仅有与实数对应的点，还有与“非实数”对应的点。
这样，非标准分析中直线上的点，当然就要比标准分析中的点多了。
正像你说的，标准分析与非标准分析，这是不同的“两套数学体系”，它们自身都没有矛盾，
不能说谁对谁错，你愿意接受哪一套都可以，当然，两种观点不能同时接受。

门外汉

那么,直线上究竟有多少个点,是不是人为规定的?
例如,标准分析可以规定直线上有X个点,而非标准分析可以规定直线上有Y个点.

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/09/26 00:17pm 第 4 次编辑]

下面引用由门外汉在 2010/09/25 09:09pm 发表的内容：
那么,直线上究竟有多少个点,是不是人为规定的?
例如,标准分析可以规定直线上有X个点,而非标准分析可以规定直线上有Y个点.

    在数学中，对于像直线、全体实数、全体超实数这样的元素个数不可数的集合，
不可能用一个数字来表示其中“点的个数”“元素的个数”。所以，从严格的数学
角度来看，问：“直线上有多少个点？”“全体实数中有几个元素？”这样的问题，
都是不合适，不规范的，也是无法回答的。
    在集合论中，有一个“基数”的概念，与“集合中元素的个数”的概念，有点
相似。集合论规定：如果两个集合，它们的元素可以用某种方法建立起一一对应的
关系，那么就可以认为，这两个集合有相同的基数。对于只有有限个元素的集合来说，
它的“基数”就是这个集合中元素的个数。对于有无穷多个元素的集合来说，“基数”
可以在某种意义上代替“集合中元素的个数”的概念。
    在集合论中，定义全体实数的基数为“阿列夫”，用一个相当于 α 的希伯来字母
表示。注意：“阿列夫”不是一个数，它不遵守数字运算的法则，例如，两个“阿列夫”
相加，得到的还是“阿列夫”；两个“阿列夫”相乘，得到的也还是“阿列夫”。
    超实数中的元素个数比实数中的元素个数多得多，可以证明，两者之间不可能建立
一一对应的关系，所以全体超实数的基数，不可能是“阿列夫”，而是一个更大的基数，
可以称为“阿列夫*”。当然，“阿列夫*”也不是一个数。
    如果我们同意用“基数”代替“集合中元素的个数”，那就可以回答楼主提出的问题
了：
    从标准分析的观点来看，直线上只有与实数对应的点，直线上全体点的基数，也就是
全体实数的基数，也就是“阿列夫”。用非常不规范的、不严格的、通俗的话来说，就是；
直线上有“阿列夫”个点。
    从非标准分析的观点来看，直线上的点，可以与全体超实数对应，直线上全体点的基数，
也就是全体超实数的基数，也就是“阿列夫*”。用非常不规范的、不严格的、通俗的话来说，
就是；直线上有“阿列夫*”个点。

顽石

陆教授的《点中有点论》与顽石的《缝隙论》
陆元鸿教授说了如下的两段话：
（1）“在数轴O点的正下方取一点P，以P为圆心、以PO为半径作一个半圆弧，将数轴上的各点与P点连接，连线与半圆弧的交点，就是数轴上的点在半圆弧上的投影。这样，我们就把整个数轴投影到了半圆弧上。
不仅如此，我们发现，在这个半圆弧的左端点处，聚集了超实数中的全部【负无穷大量】；在这个半圆弧的右端点处，聚集了超实数中的全部【正无穷大量】。利用“无穷大望远镜”，还可以把圆弧左端点和右端点放大，使我们能够看清楚一个一个具体的无穷大量。（并且补充解释：另外圆弧的“真正的绝对的端点”并不与任何数对应。）”
（2）“图像中有一些点与数字对应，图像中有一些点（圆弧的“真正的绝对的端点”）不与任何数对应。
这有什么不可以呢？
举例来说，假如有人给出一种实数域的图像表示方法：
   作一个圆周，圆周顶上的一点，是 0 点。
   0 点左侧圆弧上的点，对应于负实数。
   0 点右侧圆弧上的点，对应于正实数。
   圆周底部的左右两侧圆弧相会的那一点，规定它不与任何实数对应。
你想想，这样的显示方法是不是完全可以的？
   既然上面这种实数域的显示方法是可以的，没有任何问题的，那么，我给出的超实数域
的显示方法当然也是可以的，没有任何问题的”
陆教授的（1）话与（2）话，两段话都有问题：
在（1）话中，半圆弧左右两个端点，都在“整个数轴投影到了半圆弧上”之外。左端点处聚集了超实数中的全部【负无穷大量】；右端点处聚集了超实数中的全部【正无穷大量】。一个点包含无穷多个点吗？！点中有点吗？！
在（2）话中，圆周底部的左右两侧圆弧相会的那一点，规定它不与任何实数对应。陆教授的意思是与无穷多个正、负超实数对应到一个点，。而在一些书上是指，正无穷大与负无穷大这两个直线上的无穷远点交合为一个点。一个点可以代表两个点或者无穷多个点吗？！
凡是认为“直线上两个无穷远处的点交合为一个点”、“一个点是包含两个点”、“无穷远处点‘+∞’与‘-∞’必须重合于同一点‘∞’，故在射影几何中一直线上的无穷远处只有一个”、“弧的左右端点处，各聚集了超实数中的全部正负无穷大量”、“点可分为两种，没有长度的点和无穷小长度的点，而无穷小长度仍然可以分割”，等等观点，可称为《点中有点论》。
唯有缝隙论才能排除难以解释的问题，才能合理解释上述现象。
对于陆教授的图，我们可以随意规定线段的单位长度，例如，规定一个长度单位为圆直径的1/10，水平数轴与圆的顶点相切与O，过圆心P作无穷长一条水平线，过圆的底点Q再作一条无穷长度水平线。
这样，上、中、下3条平行线的O、P、Q等3点的数值分别是0,0-5i和0-10i。
上水平线从O点向左，等距单位点依次是1,2,3，……，趋向∞，向右，等距点依次是-1，-2，-3，……，趋向-∞；
中水平线左等距点依次是1-5i,2-5i,3-5i，……，趋向∞-5i，向右等距点依次是-1-5i,-2-5i,-3-5i，……，趋向-∞-5i。
下水平线左等距点依次是1-10i,2-10i,3-10i，……，趋向∞-10i，向右等距点依次是-1-10i,-2-10i,-3-10i，……，趋向-∞-10i。
中水平直线以P为中心，用无穷多个辐射线射向四面八方，把上水平线中所有实数点，包括变量正、负无穷大，都投影在上半圆上了；同样，将下水平线上的所有上述这些虚数和带虚数部分的正、负无穷大，包括这些等距点之间的所有虚数点，都投影在下半圆上了。
随着上下两条水平线上的所有点，全部投影到圆上，中无穷长度水平线也收缩成为这个圆的直径。其实是上下两条水平线限定的无穷长平面，收缩成为这个圆平面，如同我们站在两条南北相隔1000米的平行铁路线当中，看到的铁路线围成一个大圆，东西两端似乎都已经闭合。但是，这个圆平面永远是残缺不全的！按照潜无穷观点，数轴直线的无穷延伸没有尽头，永远没有最大的自然数，也永远没有最小的负整数，永远不存在无穷远处的方向相反的两个确定的点！无穷长直线上的点通过无穷多个放射线放扫过1/4弧，回到中水平线原本位置时，存在脱离另一个水平线的一瞬间，就形成一个空隙，因此，圆的左右两端各存在一条不断缩小并不断贴近圆弧的弦，每个弦的上下两点和中点共有3点，即3个无穷大变量之间的两个缝隙不会消失，3点永远不会变成一个点！
如果中水平线向下平移，移到靠近下水平线某个地方R，形成上大下小的两个弧线，中水平直线以R为中心，通过放射线，同样把上下水平线全部的点，分别投影到大弧和小弧上，左右各2个缝隙也下移到大弧与小弧的分界处。就如同9.99999……，无限靠近10，两者之差的无穷小1/10^n（其中n趋向无穷大）不会消失那样，如果中水平线与下水平线无限靠近，那么大弧无限接近于整圆，但永远不会变成整圆。而小弧无限接近于0，但无穷小弧永远不会消失。无穷小弧的两边各有两个无穷大变量之间的缝隙，四个缝隙和1个无穷小弧，永远不会消失！
如果不用中水平线，直接以0-10i点为中心，用无穷多个直线，把上水平线中的点都投影到圆上，因为按照潜无穷观，上水平直线不断向左右方向延伸永无止境，因此，投影到圆上的∞变量点和-∞变量点，也在永无止境地向0-10i点不断靠近，但是都永远不能弥合这两个缝隙！两个变量点与一个不变的虚数0-10i点，永远不会变成一个点！
欧拉定理可推广到线点之间的数量关系。线，包括线段和曲线等等，被点分割后的更小线的数量与点的数量关系很简单。因为，线点之间关系不涉及到面和面构成的体积，只有1个外接空间，因此，点数V + 面数F = 线数E + 体数K，这个关系式中就有不变的F = 0，K = 1，因此，线点数量关系式可简化为：
V = E + 1
这个线点数量关系式，就是顽石的《缝隙论》。
当V数量趋向无穷大时，E数量当然也趋向无穷大，因此，分割线段或分割曲线， 2点以上的点数量不管有多少，点与点之间更小线段更小曲线这些缝隙，永远存在，不会消失！上述无穷长直线变成个圆的过程中，产生无穷大变量之间的缝隙，就是缝隙存在的直接证据。

changbaoyu

虽非正规理，也是零（等）大管套点理！？
若 X^n + Y^n = Z^n，是正面理，则 (X1)^n + (Y1)^n = (Z1)^n为负面理。
引即：若ａ＾ｎ－ｂ＾ｎ＝０，则ａ＾ｎ＝ｂ＾ｎ。
也即：ａ＝ｂ，｛且ａ／ｂ＝１，｝，［是形式的变换更直观］＝＝＞已知的！！！
有：ａ＞ｂ时，因ａ＾ｎ＞ｂ＾ｎ，而ａ＾ｎ／ｂ＾ｎ＞１，且ａ／ｂ＞１；？！
另：ａ＜ｂ时，因ａ＾ｎ＜ｂ＾ｎ，而ａ＾ｎ／ｂ＾ｎ＜１，且ａ／ｂ＜１；？！
不难知：三个一的意义不同。当且仅当（示）相等时，１示体１，贯穿整体数性１中的性质数要同一。如：数（即自然数）是什么？！等、等！
１０／９／２８•玉• （这里：１＝＝＞  Z^n ＞(Z1)^n）！！！

顽石

引即：若ａ＾ｎ－ｂ＾ｎ＝０，则ａ＾ｎ＝ｂ＾ｎ。
也即：ａ＝ｂ，｛且ａ／ｂ＝１，｝，［是形式的变换更直观］＝＝＞已知的！！！
有：ａ＞ｂ时，因ａ＾ｎ＞ｂ＾ｎ，而ａ＾ｎ／ｂ＾ｎ＞１，且ａ／ｂ＞１；？！
另：ａ＜ｂ时，因ａ＾ｎ＜ｂ＾ｎ，而ａ＾ｎ／ｂ＾ｎ＜１，且ａ／ｂ＜１；？！
玉先生：上述无疑都是正确的！

顽石

大道至简

changbaoyu

好東西要留下！来之不易！谢谢！[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 changbaoyu 在 时添加 -=-=-=-=-
同心分享则乐乐！ 顽石先生！身体不好视为零，要注重身体是青山！玉弟言。