证明无穷乘积 ∏(n=2,∞)(n^3-1)/(n^3+1)=2/3

王守恩

fungarwai 发表于 2019-3-9 13:43

这乱七八糟的数字堆垒起来，答案会对吗？
因为这里与 11楼,15楼,18楼是不太一样的。
还是求助：会电脑的网友帮忙验算一下。
如果是错家伙，请您一定告诉我！谢谢！

dlpangong

王守恩 发表于 2019-5-6 16:14
这乱七八糟的数字堆垒起来，答案会对吗？
因为这里与 11楼,15楼,18楼是不太一样的。
还是求助：会电 ...

fungarwai的证明很好,才得到陆老师的赏识,好在用了->表示极限
你的4#帖子的证明模仿的也对
9#的证明虽然结论正确,但最后1行不规范,(在另处也有此问题)
你的许多公式都很有趣,很漂亮,完全正确
太过于追求完美了,有的题目难度过大,引不起共鸣,曲高和寡

至于21#公式更是难上加难,正确与否尚未可知
左边显然很难,右边也不易,感兴趣的不会计算,会计算的不一定感兴趣,难觅知音
我初步计算显示:高度怀疑公式的正确性,大师的公式也未必全对
建议用小数字测试一下,无论对错,都很有意义!!!
这乱七八糟的数字堆垒起来，答案会对吗？ ---- 不对?

dlpangong

王守恩 发表于 2019-5-6 16:14
这乱七八糟的数字堆垒起来，答案会对吗？
因为这里与 11楼,15楼,18楼是不太一样的。
还是求助：会电 ...

fungarwai的证明很好,才得到陆老师的赏识,好在用了->表示极限
你的4#帖子的证明模仿的也对
9#的证明虽然结论正确,但最后1行不规范,(在另处也有此问题)
你的许多公式都很有趣,很漂亮,完全正确
太过于追求完美了,有的题目难度过大,引不起共鸣,曲高和寡

至于21#公式更是难上加难,正确与否尚未可知
左边显然很难,右边也不易,感兴趣的不会计算,会计算的不一定感兴趣,难觅知音
我初步计算显示:高度怀疑公式的正确性,大师的公式也未必全对
建议用小数字测试一下,无论对错,都很有意义!!!
这乱七八糟的数字堆垒起来，答案会对吗？ ---- 不对?

luyuanhong

楼上 永远 的帖子很好！我已收藏。

这解法其实就是 fungarwai 的解法，但说得更清楚了。

王守恩

转来转去，“链消”还是最直接的解法。
\(\displaystyle\prod_{n=2}^{\infty}\frac{n^3-1}{n^3+1}\)
\(=\frac{2^3-1}{2^3+1}*\frac{3^3-1}{3^3+1}*\frac{4^3-1}{4^3+1}*\frac{5^3-1}{5^3+1}*...*\frac{(n-1)^3-1}{(n-1)^3+1}*\frac{n^3-1}{n^3+1}\)
\(=\frac{(2-1)(2^2+2+1)}{(2+1)(2^2-2+1)}*\frac{(3-1)(3^2+3+1)}{(3+1)(3^2-3+1)}*\frac{(4-1)(4^2+4+1)}{(4+1)(4^2-4+1)}*...*\frac{((n-1)-1)((n-1)^2+(n-1)+1)}{((n-1)+1)((n-1)^2-(n-1)+1)}*\frac{(n-1)(n^2+n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)}\)
\(=\frac{(2-1)*(3-1)*(n^2+n+1)}{(2^2-2+1)*((n-1)+1)*(n+1)}=\frac{1*2*(n^2+n+1)}{3*(n^2+n)}=\frac{2}{3}\)