试证 lim (sin1× sin 2 ×..... ×sin n) = 0

elim

酱油的瓶子

都是小于1的数，放缩法，取最大和最小一个放缩就会趋向于0

elim

酱油的瓶子 发表于 2016-1-15 16:52
都是小于1的数，放缩法，取最大和最小一个放缩就会趋向于0

能具体给出证明吗？

永远

令x1=sin1,x(n+1)=sin(xn),n=1,2,3,.
则由不等式sinx0时）知道x(n+1)=sin(xn)且显然有xn>0,n=1,2,3,.
于是xn有极限a,a满足a=sina,故a=0,即
lim xn=0.
注意到到|sin(n)|<=sin1=x1,
于是|sin(sinn)|<=sin(sin1)=x2,
递推可得|sin(sin(sin(.(sin(n))))))|<=xn,
于是原极限是0.

elim

不是同一个题目．

elim

主贴问题可由以下结果搞定．
对无理数\(a,\{na-\lfloor na\rfloor:n\in\mathbb{N}^+\}\)不含有理数且在[0,1]稠密.