二项分布随机变量是独立同分布的 Bernoulli 分布随机变量之和，如果不独立又会怎样？

luyuanhong

    若有 n 个独立同分布的随机变量 X1,X2,…,Xn ，

其中每一个 Xi 都服从相同的 Bernoulli 分布，即：

Xi 只能取两种值：0 或 1 ，Xi=1 的概率为 p ，Xi=0 的概率为 1-p 。

这 n 个独立同分布的 Bernoulli 分布随机变量之和 Y=X1+X2+…+Xn

服从参数为 (n,p) 的二项分布，即：

    Y 的取值为 0,1,2,…,n ，Y=k 的概率为

    P{Y=k}=C(n,k)p^k×(1-p)^(n-k) ，k=0,1,2,…,n 。

现在的问题是：如果 X1,X2,…,Xn 不独立，又会怎样呢？

下面看两个例子：

例1 设 X1,X2 是两个同分布的  Bernoulli 分布随机变量，但是它们不独立，

    X1 与 X2 的取值保持一致：X1=0 时必有 X2=0 ；X1=1 时必有 X2=1 。

    这时 X1+X2 的取值，或者为 0+0=0 ，或者为 1+1=2 ， 不可能取值 1 。

    显然 X1+X2 不服从二项分布。

例2 设 X1,X2 是两个同分布的  Bernoulli 分布随机变量，但是它们不独立，

    X1 与 X2 的取值始终相反：X1=0 时必有 X2=1 ；X1=1 时必有 X2=0  。

    这时 X1+X2 的取值，或者为 0+1=1 ，或者为 1+0=1 ，也就是恒等于 1 。

    显然 X1+X2 不服从二项分布。