阿波圆之CPL之证明

ataorj

阿波圆之CPL之证明
已知:点A,圆K,直线m
求做:和圆K与直线m都相切且过A的圆
做法[参照网友 drc2000回来 的提供]:如图,过K做m垂线BC,D为垂足,过A,B,D做圆交AC于E,交圆K于F,AE交BF于G,
GK取中点H,HK为半径做圆H交圆K于N(两处),过A,E,N做圆O即为所求

证明:圆H -> GN⊥NK -> GN是圆K切线,GN^2=GB*GF=GA*GE ->
GN也是圆O切线 -> 圆K圆O相切
设NC交圆O于X,交m于Y
BN⊥NC,YD⊥DC -> CY*CN=CD*CB
而CX*CN=CE*CA=CD*CB
所以CY=CX. X,Y为同一点. Y既在m上,又在圆O上
假若m和圆O还另外有个交点Z. Z既在m上,又在圆O上
CZ交圆O于J,交圆K于L. CZ*CL=CD*CB
CZ*CJ=CY*CN,而先前CY*CN=CD*CB
所以CZ*CL=CZ*CJ. J,L为同一点,但这明显是错误的.
所以综合以上有:m和圆O有且仅一个交点Y,m和圆O相切.
证毕,原作图正确.

drc2000回来

不错，楼上！